分離變量法的拓展應用

余招賢

摘 要：分離變量法是求解有限域上數學物理方程定解問題的普遍有效方法。文章首先簡單介紹分離變量法的基本原理和使用分離變量法的限制條件，然后重點討論對非齊次方程和非齊次邊界條件的數學處理，使我們可以突破分離變量法的適用范圍，最大限度地直接或間接使用分離變量法求解各種復雜的數學物理方程問題。

關鍵詞：分離變量法；適用條件；拓展應用

中圖分類號：O411.1；O241.82

文獻標識碼：A

一、引言

數學物理方程主要指從物理學及其工程技術應用科學中產生的偏微分方程（有時也包含積分方程、微分積分方程等），它是一門數學基礎性強和物理應用范圍廣的數理基礎課，同時它又被公認為大學理工科教學中一門難教、難學的基礎必修課。數學物理方程是物理規律的數學表達，一般用來描述大量物理現象背后的普遍規律和共同特征。例如，波動方程描寫波動現象的普遍規律，不管是聲波還是電磁波都要服從波動方程。輸運方程反映輸運過程的基本規律，不管是由溫度梯度引起的熱傳導，還是由物質濃度差引起的物質擴散都符合輸運方程。穩定場方程描述的現象就更加廣泛了，通常指物理量在不隨時間變化的情況下滿足的偏微分方程，但在數學物理方程中將特指拉普拉斯方程、泊松方程和亥姆霍茲方程，它們描述穩定溫度場、靜電場、時諧電磁波的電場或磁場空間分布等[1][2]。這些經典數學物理方程雖然能夠描寫物理現象的共同規律，卻無法對某個具體現象和過程作出全面的描述，所以只有偏微分方程往往不足以確定具體問題的解，定解還需要提供具體問題的邊界條件和初始條件，它們分別反映系統受到外界的影響，以及系統在初始時刻的物理狀態，邊界條件和初始條件一起統稱定解條件。

一般來說，偏微分方程的解法相當復雜，數學物理方程課程中涉及三類經典方程，其解法具有典型代表性，完全可以應用到其他類型的數學物理方程求解，如量子力學的薛定諤方程。分離變量法就是一種求解偏微分方程的普遍有效方法，適用于大量的有限域上的初邊值問題。本文首先簡單介紹分離變量法的基本原理，其次說明分離變量法的嚴格適用條件，最后討論分離變量法的各種拓展應用，重點介紹對非齊次邊界條件的數學處理，對非齊次方程應用本征函數展開法，對穩定場引進自然邊界條件構成本征值問題，通過這些數學處理極大地拓展了直接或間接使用分離變量法的應用范圍。

二、分離變量法的基本原理

對于微分方程可以先求通解，然后利用邊值條件定解。偏微分方程卻一般無法采用類似方法求解，主要是因為偏微分方程的通解難找，即使找到了通解，可能也難以定解。分離變量法基本原理的提出其實是受到物理中駐波現象的啟示，如兩端固定弦的自由振動滿足波動方程。從物理上容易看出，弦的兩個端點對波有反射作用，波在兩個端點之間往復反射并疊加形成駐波。這就啟發我們弦上存在駐波形式的特解，駐波的特點就是波函數可以表示為時間變量函數和空間變量函數的乘積，即存在分離變量形式的特解。

現在分離變量法已經成為求解數學物理方程最有效的一種方法，雖然其核心思想源自駐波，但這并不意味著它只能應用在波動方程的求解，它完全可以推廣到各種類型的數學物理方程定解問題。具體來說，分離變量法首先需要假設方程存在分離變量形式的特解，對方程分離變量，從而把偏微分方程轉換成幾個單變量函數滿足的微分方程，對邊界條件分離變量，由此得出對微分方程所描述的單變量函數的某些限制，這些限制條件和微分方程一起構成本征值問題。然后對本征值問題進行求解，求解結果不僅需要找到一組非零特解（本征函數），還要確定那些待定常數所能取到的一些特定數值（本征值）。最后把這些分離變量形式的特解疊加起來，得到滿足方程和邊界條件的一般解，進一步使其滿足初始條件，以確定一般解中的疊加系數，方程最終獲解。

三、分離變量法的條件

雖然分離變量法行之有效，應用廣泛，但它的使用范圍仍然受到一定的限制。分離變量法的首要前提是存在分離變量形式的特解，這種特解是否真的存在，一切都要看最終能否定解。當我們把分離變量特解代入偏微分方程，就會發現只有對齊次偏微分方程，才能真正實施分離變量的步驟，即把偏微分方程轉換為一系列的單變量微分方程。而對非齊次偏微分方程，顯然無法分離變量，因為非齊次項是一個不為零的已知函數，無法寫成解的分離表達形式。所以分離變量法要求方程必須是齊次的。

對齊次偏微分方程進行分離變量后得到的系列微分方程，與普通微分方程有一點顯著不同，那就是它們還包含分離變量過程中引進的一些待定常數，導致這些微分方程無法單獨求解，必須為其提供合適的附加條件，構成所謂的本征值問題。這些附加條件的來源多種多樣，它們通常來自對原定解問題的全部或部分邊界條件進行分離變量所得，也就是要求全部或部分邊界條件必須是齊次的。對于穩定場問題，情況則有點復雜。穩定場的邊界條件不可能全部是齊次的，否則按照解析函數理論，穩定場內部每一點上物理量的值都決定于邊界上的值，即全部齊次邊界條件意味著系統內的穩定場恒為零，這是沒有物理意義的。例如，在直角坐標系中，對矩形或長方體邊界的情況，只要求部分邊界條件是齊次的，能夠分離變量構成本征值問題即可。對圓形、球面或圓柱邊界，一般選擇極坐標、球坐標或柱坐標，這時候雖然邊界條件一般是非齊次的，但我們可以對角坐標采用周期條件或有界條件，能夠與相應角坐標的微分方程構成本征值問題。

構成本征值問題后進行求解，將會得到一系列的本征值和本征函數。本征函數的實質就是符合方程和邊界條件（部分）的特解，這些本征函數（特解）通常具有正交、歸一、完備等性質。分離變量法能夠成功的另一個關鍵點就是，這些特解的線性疊加仍然是偏微分方程的解，并且還能滿足邊界條件（部分）。把這些特解疊加起來，構成滿足方程和邊界條件（部分）的一般解，然后利用初始條件或其余定解條件確定一般解中的未知系數。要能做到這一點，就必須要求原方程和邊界條件都是線性的。

實際上，使用分離變量法，除了要求方程和邊界條件滿足齊次和線性條件之外，還要求邊界的形狀是規則的幾何形狀，如矩形、圓形、球形、圓柱形等，在適當選擇的坐標系中，這些規則的邊界可以用若干個只含有一個變量的方程來表示，這一點容易被人忽略。

四、分離變量法的各種拓展

通過前面的討論，可以看出使用分離變量法有著嚴格的適用條件，即不僅要求方程和邊界條件線性（部分）齊次，還要求系統的邊界具有規則幾何形狀。實際上這些條件都是分離變量法的充分條件，而非全部是必要條件，下面說明我們可以通過一些數學手段，突破上述條件的限制，在更大的范圍內繼續直接或間接使用分離變量法的思想，以幫助我們解決各種復雜問題[3][4]。

1.對非齊次邊界條件的處理

首先討論邊界條件，通常說只有齊次邊界條件才能分離變量，才能和微分方程構成本征值問題，進而求解本征值和本征函數，按照分離變量法的標準理論處理問題。考慮一維波動方程的定解問題，方程是齊次的，但邊界條件是非齊次的，在這種情況下方程仍然可以分離變量得到微分方程，邊界條件卻不能分離變量了，所以無法提供微分方程的附加條件以構成本征值問題，原則上就不能應用分離變量法了。一個變通的做法是引進一個數學輔助函數，使邊界條件由非齊次變成齊次，符合邊界條件分離變量的要求，這樣的簡單輔助函數對三類線性非齊次邊界條件都很容易找到。付出的代價卻是方程很可能變成非齊次，即邊界條件齊次化了，方程卻變為非齊次了，還是不能直接應用分離變量法。其實更普遍的情況是方程和邊界條件本來都是非齊次的，但是我們總能通過尋找輔助函數，使邊界條件齊次化，最壞的結果就是非齊次的方程繼續是非齊次罷了。所以對任意非齊次方程附加非齊次邊界條件的定解問題，我們總是可以通過適當的數學變換，把定解問題最終轉化為一個非齊次方程附加齊次邊界條件的情況，這種情況我們能夠按照后面介紹的本征函數展開法進行有效處理。

2.對非齊次方程的處理

下面只需考慮非齊次方程附加齊次邊界條件的情況。由于方程本身不能直接分離變量，這種情況顯然不能直接應用分離變量法求解。但是我們可以基于分離變量法的理論，找到一種普遍而又有效的解決方案，處理非齊次方程和齊次邊界條件的典型問題。具體方法是先忽略方程的非齊次項，直接考慮一個齊次方程和齊次邊界條件結合的問題。現在當然可以分離變量了，由相應本征值問題可以得到本征函數。從理論上說，盡管方程是非齊次的，定解問題的相應齊次問題的本征函數總是客觀存在的，如果我們還是按照把本征函數（特解）線性疊加得到一般解的方法，這樣的一般解只能是齊次方程在齊次邊界條件下的一般解，肯定無法滿足非齊次的方程。即使我們再由初始條件定出疊加系數，這樣得到的解絕不是原定解問題的解，也絕不是原定解問題的廣義解。但從本征函數完備性的角度，任何一個函數（包括原定解問題的解）都可以用本征函數展開，只不過現在的展開系數不是常系數，而是某個變量的待求函數。為了確定該函數，把原方程的每一項都用本征函數展開，就可以得到待求函數滿足的非齊次微分方程，同樣對原定解條件作相同的展開，得出待求函數滿足的附加條件，現在原則上就可以完全解出待求函數，最終就可以得到既滿足非齊次方程又滿足齊次邊界條件的解。另外也說明為什么必須先要將邊界條件齊次化，因為只有滿足與本征函數相同的（齊次）邊界條件的函數，才能按照該組本征函數展開（至少在平均收斂的意義下）。以上方法稱為本征函數展開法，也稱為廣義傅里葉級數法。所以在最一般的情況下，我們依然可以應用分離變量法的思想求解線性非齊次方程和線性非齊次邊界條件的定解問題。

3.對穩定場問題的處理

對穩定場問題，由于不存在初始條件，所以只需考慮邊界條件。首先要明確，根據研究對象是否包含各種不同的“源”，穩定場方程可以是齊次的（無源，拉普拉斯方程），或者是非齊次的（有源，泊松方程）。而如前所述，穩定場的邊界條件不可能全部是齊次的，所以穩定場的邊界條件一般是非齊次的，最多只能在部分邊界上是齊次的。問題來了，分離變量法還能用嗎？

此時需考慮兩種典型的情況。第一種就是研究物理量在矩形薄板或長方體介質中的穩定分布。顯然系統的邊界是矩形的四條邊或長方體的六個外表面，這時最好選擇直角坐標系，如果系統內無源，滿足齊次拉普拉斯方程，當然可以分離變量。對于邊界條件來說，如果矩形的一組對邊上或長方體的兩組相對的外表面上的邊界條件是齊次的，那么就可以對相應的齊次邊界條件進行分離變量，所得的限制條件與微分方程一起構成本征值問題并求解，最后構成穩定場問題的一般解，并利用剩余的非齊次邊界條件確定一般解中的疊加系數，從而最終定解。實際上對具有矩形或長方體邊界的系統進行求解時，可以進一步拓展分離變量法的適用范圍，即使所有的邊界條件都是非齊次的，只要方程是線性齊次的拉普拉斯方程，就可以通過簡單的分解方法，即把一個矩形邊界的定解問題分成兩個新的定解問題，把一個長方體邊界的定解問題分成三個新的定解問題，其中每一個新的定解問題都含有部分齊次邊界條件，完全可以按照分離變量法求解，最后再把它們各自的解疊加起來，就可以得到原定解問題的完整答案。

第二種情況就是對二維圓或三維柱形和球面邊界，最好采用平面極坐標、柱坐標和球坐標，這時邊界條件只能是非齊次的，否則系統內部每一點的物理量取值為零。假如方程還是齊次的拉普拉斯方程，分離變量法還能應用嗎？答案是肯定的。拉普拉斯方程一定是可以分離變量的，在平面極坐標系中拉普拉斯方程可以分解為兩個微分方程，即徑向方程和角向方程，在三維球坐標系中拉普拉斯方程可以分解為徑向方程和兩個角向方程。雖然這時邊界條件是無法分離變量的，也就是不能為微分方程提供附加條件，但是極坐標或球坐標的引入自然要考慮角坐標的周期性，還有要求物理量在邊界上保持有界性，這些都是對微分方程中的本征值的附加要求，可以構成相應的本征值問題。然后就可以按照分離變量法的標準步驟進行求解。當然對非齊次的穩定場方程，我們就只能通過尋找特解的方法，使其轉化為齊次方程，然后即可按照上述討論的方法進行求解。

五、結論

分離變量法的基本原理就是通過尋找可以表達為分離變量函數乘積形式的非零特解，將偏微分方程轉化為微分方程，其實質是將自變量的個數減少，求出這些微分方程滿足齊次邊界條件或附加自然邊界條件的非零特解，再作線性疊加，最終求出滿足所有定解條件的解。分離變量法的嚴格適用條件是方程和邊界條件都是線性的和齊次的，邊界形狀是規則的幾何形狀。為了最大限度拓展分離變量法的使用范圍，對最一般的非齊次方程和非齊次邊界條件的時域問題，可以通過引進數學輔助函數，把非齊次邊界條件齊次化，然后引進建立在分離變量法理論基礎上的本征函數展開法，對穩定場問題的非齊次邊界條件，可以引進附加的自然邊界條件以構成本征值問題，這些數學方法有效突破了分離變量法的限制條件，使我們可以解決更廣泛和更復雜的數學物理方程問題。

參考文獻：

[1]梁昆淼.數學物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]周明儒.數學物理方法[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]周 瀾.分離變量法處理疑難邊界條件問題的探究[J].江蘇第二師范學院學報（自然科學版），2014（8）：19-21.

[4]王禮祥.靜態場問題的分離變量法理論探究[J].西南民族大學學報（自然科學版），2011（3）：360-367.