向量在立體幾何解題中的妙用

李小春

一、利用向量解決線面平行問題

空間立體幾何中的平行問題包括兩條直線平行、直線與平面平行、兩個平面平行。遇到運用向量的方法證明線與面的平行的問題，學生可以把問題變成直線的方向向量與平面的法向量之間的代數運算問題。

例1.在圖1中，兩個正方形ABCD與ADEF相互垂直，且公用AD邊，M、N兩點分別是正方形對角線AC和FD上的點，并且AM=FN。證明：MN∥平面DCE。

解析：建立如圖1的空間直角坐標系，假設=λ，∵AM=FN，∴=λ，∵=++=-λ++λ=-λ-λ++λ-λ=-λ+（1-λ），∴MN∥平面DCE。

點評：在遇到證明線面平行這類題目時，如果是證明線與線平行，學生需要判斷兩條線的方向向量共線；如果是證明線與面平行，學生需要出計算線的方向向量和平面的法向量的點積為0；如果是證明面與面平行，學生需要證明兩個平面的法向量共線。

二、利用向量解決線面垂直問題

例2.在如圖2所示的正方體中，E、F兩點分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中的BB1、CD兩條邊的中點。證明：平面AED⊥平面A1FD1

解析：要證明圖中的兩個平面垂直，可建立如圖2所示的空間直角坐標系，并假設正方體的邊長是2，這樣就可以求出如下點的空間坐標A（0，0，0）、D（0，2，0）、

A1（0，0，2）、D1（0，0，0）、E（2，0，1）、

F（1，2，0）。

=（0，2，0），=（1，0，-2），∵.=0，AD⊥D1F，=（2，0，1），||=，

||=，假設AE和D1F夾角是θ，cosθ===0，∴θ=90°，即AE⊥D1F。∵AD⊥D1F，AD∩AE=A，∴D1F⊥平面AED，∵D1F包含在平面A1FD1中，∴平面AED⊥平面A1FD1。

點評：當證明線與線垂直時，學生要計算兩條直線的方向向量的內積為0；當證明線與面垂直時，學生需要判斷線段的方向向量與平面的法向量平行；當證明面與面垂直時，學生需要判斷兩個平面的法向量是平行的。

三、利用向量解決二面角的問題

例3.在圖3中，直三棱柱ABC-A1B1C1中的AC=BC=AA1，DC1⊥BD，D是AA1棱的中點。（1）證明：BC⊥DC1（2）求二面角A1-BD-C1的大小。

解析：（1）∵D是AA1棱中點，DC1=DC，AC=AA1，DC12+DC2=CC12，∴DC1⊥DC，∵ BD⊥DC1，DC∩BD=D，∴DC1⊥DBC平面， BC包含在平面DBC中，∴BC⊥DC1。

（2）∵CD⊥DC1，BC⊥CC1，∴BC⊥平面ACC1，∴CB、CC1、CA三線兩兩互相垂直，∴可以C為原點，分別以CA、CB、CC1為x、y、z軸建立空間直角坐標系，假設AC=BC=1，則A1（1，0，2），C1（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，1），=（0，0，-1），=（1，-1，1），=（-1，0，1），設A1B1BD平面的法向量是=（x，y，y），.=0，.=0，∴，取=（1，1，0）。同理可假設C1BD平面的法向量是，可得.=0，.=0， 取=（1，2，1）?！郼os<.>==。

∴二面角A1-BD-C1的大小是30°。

點評：求立體幾何中二面角的大小有兩種方法：幾何方法與向量方法。但從所給條件看，運用向量方法求解比較容易。在求解空間角的問題時，學生要根據題目所給的已知條件來選擇簡單的解題方法。

（作者單位：江西省廣豐貞白中學）