高中數學概率與統計部分內容設置的比較研究
——基于《標準（實驗版）》和《標準（2017年版）》

☉西北師范大學教育學院 尤小清 江 靜

一、研究背景

新一版本的數學課程標準于2017年正式頒布，數學課程標準是指導數學教育教學工作的綱領性文件，帕克森和哈里斯（Parks，J.&M.B.Harris）將教學大綱描述為傳達師生之間期望并指導其行為的合同.【1】數學課程標準規定了國家對不同階段的學生在知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等方面的基本要求，規定了數學課程的性質、應達到的標準以及內容框架.【2】數學學科的性質與地位、課程目標、課程內容及各學段安排構成數學課程標準的核心內容.

2017年1月，《普通高中數學課程標準（2017版）》開始頒布實行，此次標準修訂，最大的創新之處在于新增了數學核心素養的部分，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，這些素養已經成為未來公民必備的基本核心素養.【3】“統計與概率”是高中數學課程體系中的重要組成部分，統計的核心是數據分析，概率的核心是隨機事件的分析，都具有實用性的特點，與社會生活和工農業生產有著密切的聯系.【4】通過對統計與概率部分的學習可以提升學生的數學抽象、數學建模、數學運算以及邏輯推理的數學素養.筆者選擇對新舊標準中概率與統計部分內容的難度進行比較研究，希望能對一線教師在概率統計課程教授上提供一些參考性的意見.

二、研究設計

研究方法：基于新舊課程標準的文本材料進行定量分析.此處的定量分析主要分為：概率與統計部分課程難度分析以及概率與統計部分知識的分布比.

1.課程難度

此處的定量分析主要分為：概率與統計部分知識難度分析以及概率統計部分知識的分布比，在這里，課程難度主要用課程廣度、課程深度以及課時的多少來刻畫.課程廣度是指課程內容所涉及知識的范圍和領域的廣泛程度，課程廣度可以用課程內容中知識點個數來量化；課程深度則是指課程標準中對學生掌握知識的要求程度，依據課程標準可以將要求程度劃分為3個層次，具體情況見表1，我們對A、B、C三個層次進行賦值，分別賦值1、2、3，課程深度就是對動詞目標賦值的求和；課時則是指完成課程所需要的時間.【5】我們把課程廣度、課程深度以及課時看成三個變量，三者共同構成了一個關于課程難度的函數，其中任意一個值的改變都會引起課程難度的改變.

表1 課程目標動詞賦值

2.知識的分布比

知識的分布比主要是指：①新標準必修部分與選修部分的廣度比和深度比；②新標準概率部分與統計部分的廣度比和深度比；③舊標準必修部分與選修部分的廣度比和深度比；④舊標準概率部分與統計部分的廣度比和深度比.

三、新舊課標概率與統計內容難度的定量比較

舊標準中的概率與統計內容包括三個部分：一是必修3中的“統計與概率”；二是選修1-2中的“統計案例”；三是選修2-3中的“計數原理”和“統計與概率”.舊標準對文理科學生給出了明確的選課建議，文科生在系列1中選修1-2，理科生在系列2中選修2-3.新標準中概率與統計內容包括兩個部分：一是必修主題四中的“統計與概率”；二是選修Ⅰ系列主題三中的“統計與概率”.新標準不再區分文理.因此，本文在做難度統計時，將舊標準文、理科內容與新標準內容進行比較.

下面將具體說明課程難度與課程廣度、課程深度以及課時之間關系，以及課程難度的具體計算方法.

1.課程實施時間的統計

舊標準（理）中統計與概率是由必修3和選修2-3構成，課時分別為24學時和36學時，共計60學時；舊標準（文）中統計與概率是由必修3和選修1-2構成，課時分別為24學時和14學時，共計38學時.新標準中統計與概率是由必修主題四和選修Ⅰ系列主題三構成，課時分別為18學時和26學時，共計44學時.

表2 舊標準與新標準中“概率與統計”部分內容課時統計表

2.課程廣度與課程深度的統計

根據研究設計中給出的課程廣度以及課程深度的統計計算方法，可以列出概率與統計部分的具體知識點以及相應賦值，見表3，表4.

表3 舊標準中“統計與概論”知識點及其對應深度

評價數據處理過程 2 二項展開式 3散點圖 1.5 離散型隨機變量 2變量線性相關 1 分布列 1.5最小二乘法 1 超幾何分布應用 2線性回歸方程 2 超幾何分布到處 2頻率 1 條件概率 1概率 1 事件相互獨立 1互斥事件加法公式 1 n次獨立重復實驗 2.5古典概型 2 二項分布 2.5概率計算公式 2 均值、方差 2.3正態曲線 1注：課程廣度（知識點個數）G=51，課程深度S=89.8

表4 新標準中“統計與概論”知識點及其對應深度

3.課程難度比較

（1）課程難度的刻畫

在研究設計中已經提到，課程難度可以由課程廣度、課程深度以及課時來刻畫，我們不難看出，教給學生相同難度及個數的知識點，課時給的越多其授課難度越小，反之越大；同樣，若課時相同，教給學生的知識點越少、越簡單，其授課難度越小，反之越大.因此，我們很容易想到用單位課時下課程的廣度和課程的深度來衡量課程的難度，我們把前者稱為可比廣度，后者稱為可比深度.顯然，課程的可比廣度和可比深度越大，課程難度越大，本文借鑒呂世虎教授在《〈標準〉與〈大綱〉中幾何部分內容難度的比較研究》一文【6】中所用到的難度模型，將課程難度設定為可比廣度與可比深度的加權平均值.

用N表示課程難度，G表示課程廣度，S表示課程深度，T表示課時，得到如下課程難度計算公式：

N=λG/T+（1-λ）S/T，

其中G/T表示可比廣度，G/T表示可比深度，λ稱為加權系數（0＜λ＜1），λ是一個經驗常數，反應了可比廣度與可比深度對課程難度影響的側重程度.通過對一些專家和學者的咨詢，多數人認為課程廣度比課程深度對課程難度的影響更大，因此，λ取0.6.

（2）舊標準與新標準難度比較

根據以上數據，列出如下表格（見表5）.

表5 新舊標準中統計與概率部分的數據統計結果

將以上數據帶入所建立的函數模型中，分別得出舊標準中文、理科內容與新標準內容的知識難度N1，N2，N3：

其中0＜λ＜1，

于是0.85＜N1＜1.5，0.84＜N2＜1.26，，0.67＜N3＜1.11，當λ=0.6時，得出N1=1.11，N2=1.01，N3=1.11.

從數據中我們可以看到新標準的課程廣度、課程深度以及課時都介于舊標準（文）、（理）之間，大概等于舊標準（文）、（理）課程廣度以及課程深度二者的平均值.新標準課程難度與舊標準（理）難度相同，都為1.11，舊標準（文）的難度最小，僅為1.01.

四、內容分布情況的比較

1.選修與必修分布情況

從課程的選擇上看，新舊標準的概率與統計部分都可以分為選修部分和必修部分，即選修部分與必修部分都涉及統計與概率的知識，它們各自所占比例見圖1.

新舊標準選必修知識點個數所占比重統計

圖1

從圖1中可以看出，新舊標準知識點在選必修所占比例是有差異的，新標準必修內容知識點所占比重最少，只占59%，而舊標準（文）必修知識點所占比重最多，占到了86%.

新舊標準必選修知識點賦值所占比重統計

圖2

從圖2中可以看出，新舊標準知識點賦值所占比重也有所區別，舊標準（理）必修內容知識點賦值所占比重最少，僅占59%，而舊標準（文）必修知識點總賦值所占比重最多，占到了91%.

2.核心知識模塊分布情況

概率與統計部分大致可以分為概率、統計、計數原理三部分內容，由于計數原理部分的內容較少，本研究將不再展開討論.【7】筆者對新舊標準中的概率與統計部分的知識點與知識點總賦值進行了統計.新舊標準概率、統計知識點個數各自所占比重統計

圖3

從圖3中可以看出，無論是舊標準還是新標準，統計部分的知識點個數明顯多于概率部分，尤其是在舊標準（文）中，統計部分的知識點個數占到73%，比概率部分多出了46個百分點，這是因為文科生學習的《選修2-1》只包含統計知識，不包含概率知識.由此可見，新舊標準都較重視統計部分內容的學習.

新舊標準概率、統計知識點賦值各自所占比重統計

圖4

從圖4中可以看出，統計部分的知識點賦值所占比重大于概率部分，特別是在舊標準（文）中，統計部分的知識點賦值占到77%，比概率部分多出了54個百分點.而在新標準中知識點賦值在概率、統計中所占比重相同.由此可見，新標準中對統計部分的學習要求降低，與概率部分的要求持平.

五、結論與啟示

1.新標準課程的廣度、深度以及課時都介于舊標準（文）、（理）之間，課程難度基本持平

從課程廣度來看，舊標準（文）、新標準以及舊標準（理）的知識點個數分別為32、38以及51，在新舊標準中新增了2乘2聯列表、統計軟件等知識點，更加注重課程知識的實用性；從課程深度看，舊標準（文）、新標準以及舊標準（理）的知識點賦值分別為48、65.6以及89.8，不難看出，在單位課程廣度增加的情況下，新標準比舊標準（文）的課程深度的增加量遠大于新標準比舊標準（理）課程深度的減小量.究其原因，主要是新標準行為動詞的要求程度加深，對學生的要求從“了解”居多轉變為“理解”居多；從課程難度來看，舊標準（理）與新標準基本持平，都大于舊標準（文）.

2.選修必修所占比例有較大調整，概率與統計所占比例基本持平

從選修必修課程廣度來看，舊標準（文）、（理）的選修部分知識點所占比例都遠小于必修部分知識點所占比例，但新標準中選修部分與必修部分知識點所占比例則基本持平，各占50%.新標準增加了學生的選擇性，學生可以學習更多自己感興趣的知識，更加符合“不同的人在數學上有不同的發展”的數學理念；從選修必修深度看，新標準選修深度位于舊標準（文）、（理）深度之間，改善了概率與統計部分廣而不深的現狀.【8】

從概率統計課程廣度來看，舊標準（文）、（理）的統計部分知識點所占比例都大于概率部分知識點所占比例，舊標準（文）中二者差距較大，相差46個百分點，新標準中二者差距較小，相差4個百分點.新標準中減少了必修課程和選修Ⅰ系列課程中的統計知識，將大部分統計知識放在了由學生選擇的選修Ⅱ系列課程中，以此來滿足學生的個性化需要.從概率統計課程深度來看，舊標準（文）、（理）的統計部分知識點賦值所占比例都大于概率部分知識點賦值所占比例，但新標準統計部分與概率部分知識點賦值所占比例持平，即各占50%.新標準改變了統計部分知識深度獨占鰲頭的現狀.

1.ParksJ.，M.B.Harris.The purposeofa syllabus【J】.College Teaching， 2010，50（2）.

2、3.中華人民共和國教育部.普通高中數學標準（修訂版）【S】.北京：人民教育出版社，2018，1.

4秦威山.重視基礎突出應用提升能力——由2017年高考統計與概率試題談備考 【J】.數學教學研究，2017，36（10）.

5、6.呂世虎，史寧中，陳婷.《標準》與《大綱》中幾何部分內容難度的比較研究 【J】.課程·教材·教法，2006（08）.

7.中華人民共和國教育部.普通高中數學標準（實驗版）【S】.北京：人民教育出版社，2003（2）.

8.曹一鳴，王萬松.高中概率統計內容設置的國際比較——基于15個國家數學課程標準的研究.數學教育學報，2016.H