例析解析幾何最值問題的五種策略

☉重慶市秀山高級中學校 蔡旭平

解析幾何中的最值問題，歷來是高考重要考點.此類問題涉及的知識面較廣，解法靈活多變，但總體上主要有兩類方法，一是幾何法，即利用曲線的定義、幾何性質，以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是代數法，即把要求的最值的幾何量或代數表達式表示為某個（些）參數的函數（解析式），然后利用函數方法、不等式方法等進行求解.但這兩類辦法中共有五種不同的策略，本文舉例說明.

一、定義入手，直奔主題

例1已知雙曲線C的兩個焦點分別為F（1-2，0），F（22，0），雙曲線C上一點P到F1，F2的距離差的絕對值等于2.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）已知定點G（1，2），D是雙曲線C右支上的一個動點，求|DF1|+|DG|的最小值

解析：（1）易求雙曲線C的標準方程為x2-=1.

（2）由雙曲線的定義，得|DF1|-|DF2|=2，即|DF1|=|DF2|+2，所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2，當且僅當G，D，F2三點共線時取等號.

因為|GF2|==，所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=+2，故|DF1|+|DG|的最小值為+2.

評注：利用雙曲線的定義，直奔主體，可以將圓錐曲線的最值問題轉化為幾何問題進行處理.

二、函數思想，求函數最值

（1）求橢圓M的方程；

評注：函數法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及的函數最常見的有二次函數、無理函數等，利用函數的單調性或基本不等式求出它的最值，值得注意的是函數自變量取值范圍的考查不要忽視.本題關鍵是尋找函數

三、三角換元，求三角最值

（1）求x2+y2的最值；

（2）若四邊形ABCD內接于橢圓E，點A的橫坐標為5，點C的縱坐標為4，求四邊形面積的最大值.

又因為cos2θ∈［0，1］，所以x2+y2的最大值為25，最小值為16.

（2）如圖1，易知A（5，0），C（0，4），設（5cosθ，4sinθ）為橢圓上任意一點.

圖1

評注：三角換元的目的是把目標函數中的兩個變量轉化為一個角變量，從而把原問題轉化為我們熟知的三角函數的最值問題.

四、幾何性質，求平面幾何最值

例4 已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為（ ）

解析：由題意知，拋物線的準線l：y=-1，過點A作AA1⊥l交l于點A1，過點B作BB1⊥l交l于點B1，設弦AB的中點為M，過點M作MM1⊥l交l于點M1，則|MM1|=因為|AB|≤|AF|+|BF|（F為拋物線的焦點），即|AF|+|BF|≥6，所以|AA1|+|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故點M到x軸的距離d≥2.故選D.

評注：解析幾何是“代數化”了的平面幾何，因此，求解解析幾何問題往往離不開幾何圖形的幾何性質，尤其是對于某些最值問題，我們可以抓住圖形特征，將其轉化為平面幾何中的最值問題.

五、牽線搭橋，數形結合

例5 已知P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點.

（1）求x2+y2的最大值和最小值；

解析：（1）設t=x2+y2，則t的幾何意義表示圓（x+2）2+y2=1上的點與原點的距離的平方，數形結合，此圓的圓心到原點的距離為2.

所以tmax=（2+r）2=（2+1）2=9，tmin=（2-r）2=（2-1）2=1.

所以x2+y2的最大值為9，最小值為1.