用焦半徑、焦點弦公式秒殺小題快攻大題

☉山西省臨汾市第三中學校 張榮華

圓錐曲線不但是平面解析幾何教學中的重點和難點，而且也是高考壓軸題經常涉及和考查的對象.有些若使用常規解法，計算、化簡都相當煩瑣，若運用焦半徑、焦點弦公式則會大大減少運算，非常巧妙，在解題中起到事半功倍的效果.本文結合高考試題、自主招生試題及競賽試題，說明焦半徑、焦點弦公式的巧妙使用.

一、焦半徑焦點弦相關公式

約定：本文中提到的θ為直線的傾斜角，p為焦準距（焦點到準線的距離）.

下面用圓錐曲線的統一定義來推導焦半徑、焦點弦公式，以橢圓=1（a＞b＞0）為例，歸納出焦半徑、焦點弦公式的幾條性質.

如圖1，過A作AA1⊥l于點A1，則|AF|=e|AA1|=e［p+|AF|cos（π-θ）］.

性質2：橢圓焦點弦的長度為|AB|=|AF|+|BF|=

圖1

注：當焦點在y軸上時，將cosθ換為sinθ即可.

性質3：橢圓焦點弦中最短的弦為通徑.

性質4：焦點半徑，倒和定值.

性質5：正交焦弦，倒和定值.

因篇幅所限，雙曲線中類似的結論留給讀者自證.

二、焦半徑、焦點弦公式的巧妙使用

例1（2017年新課標Ⅰ卷理10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

簡評：本題若使用通法通解，運算量大，會給解題帶來不便.

例2 （2013年新課標Ⅱ卷文10）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點.若|AF|=3|BF|，則l的方程為（ ）.

簡評：本題使用焦半徑公式的傾斜角形式，簡潔明了，省時省力，事半功倍.

例3 （2016年新課標Ⅰ卷理20）如圖2，設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（1）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（2）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

圖2

簡評：可以說是用焦半徑公式“快攻”了此題.

變式練習：（2011年卓越聯盟自招13）已知橢圓的兩個焦點為F（1-1，0），F（21，0），且橢圓與直線y=x-相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）過F1作兩條互相垂直的直線l1，l2，與橢圓分別交于P，Q及M，N，求四邊形PQMN面積的最大值與最小值.

例4（2015年清華大學數學金秋營試題）如圖3已知橢圓La＞b＞0）的離心率為，F，F分12別是橢圓L的左，右焦點，點）在L上，設A為橢圓上的一個動點，弦AB，AC分別過焦點F，F，且12

（1）求橢圓L的方程；

（2）求λ1+λ2的值；

（3）求△F1AC的面積S的最大值.

圖3

簡評：此題難度偏大，若使用焦半徑公式可以使解題過程簡潔明了.

從以上各題可以看出，解決這類問題的常規解法，是按照解析幾何問題求解的“三部曲”，把直線和曲線方程聯立，消元得到關于x或y的一元二次方程，用韋達定理得到交點坐標的關系式，最后將目標轉化表示，運算量往往不是一般的大，若運用焦半徑公式的傾斜角形式，可以簡化運算，直達結論，起到事半功倍的效果.F