中德數學教材對比分析
——以《圓的認識》為例

■ 武漢市青山區新溝橋小學 劉家旎

武漢市硚口區水廠路小學 蔡 維

武漢市育才小學 姜瑞欣

武漢市育才漢口小學 鄧石磊

我國近代教育家陸費逵在《中華書局宣言書》中明確提出“國立根本，在乎教育；教育根本，實在教科書。”數學教材是數學教學中的重要組成部分，是數學學科知識的精華，是專家學者智慧的結晶。在本次“中德小學數學教材比較研究論壇”活動中，我們有幸學習到了中、德兩國關于《圓的認識》這一課的不同版本教材。下面，我們以《圓的認識》這課為例，來比較、分析兩國的小學數學教材。

首先，來看看我國的小學數學教材。目前我國小學數學的教材版本有：人教版、北師大版、上海版、浙江版、江蘇版、西師大版、臺灣版等十幾種。通過研讀教材，我們發現在新課標要求下的國內多版教材，包括相同的中華文化背景下的臺灣版教材，在內容的編排上有著以下三點共同之處。

北師大版

上海版

西師大版

一、在情境中引入圓

圓在我們生活中隨處可見，以和諧、對稱體現其獨特的美感。因此中國版教材都是從生活現象中來引入圓的學習，如北師大版的從套圈游戲來引入，西師大版和上海版的則從自然界和社會生活中形形色色的“圓”來抽象出幾何圖形的圓。不同版本的數學教材都從生活情境中引入圓，讓學生感受到圓的美，體會到數學就在身邊，有效激發了學生學習的欲望，增強了學生學習的動力。

二、在操作中探究圓

在探究部分，中國版教材不約而同地設計了層層遞進的操作探究活動，讓學生充分地感知圓的本質特征。

首先進行畫圓操作活動。例如臺灣版的教材呈現了四種畫圓方式：用圓形紙片進行描摹，用兩支筆和線畫，用直尺、鉛筆和圖釘以及圓規畫圓。浙江版：用圓規畫圓和其他工具畫圓。不同版本的教材選用的畫圓方式讓學生不僅學會了正確的畫圓方法，還初步體驗到圓的“定點和距離不變”這一特征，將畫圓和理解圓的特征結合起來，強化了學生對圓的本質的認識；同時教材利用圓規畫圓引出圓各部分的名稱，也就是圓心、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然流暢。

浙江版

臺灣版

各版本教材還設計了一系列探究圓特征的動手操作活動。例如人教版教材：沿著直徑折一折、畫一畫、量一量，會有什么發現？江蘇版教材：折一折、畫一畫、比一比，你有什么發現？臺灣版教材：量一量，說說看。這些由具體到抽象的操作活動，讓學生自主地發現了半徑與直徑的特征和關系，逐步積累并建立起了圓的正確表象，使學生的幾何直覺和空間觀念得到發展。

三、在生活中應用圓

探究出了圓的特征，中國版教材的編排又回歸生活，鼓勵學生用圓的特征解釋常見的生活現象，培養學生用數學眼光看問題，用數學頭腦想問題，增強學生的應用意識。例如北師大版：聯歡時，人們為什么會圍成圓形？窨井蓋、水滴泛起的漣漪為什么是圓的？西師大版、浙江版、北師大版的：為什么車輪都要做成圓形的？上海版的：如何開辟圓形花圃的？這些實際應用的設計都是讓學生體會圓在生活中的運用，增強學生的應用意識。

北師大版

上海版

由此可見，中國版教材在《圓的認識》一課編排的基本模式是：首先創設生活情境，從自然現象、生活中的物品、游戲等活動中抽象出幾何圖形“圓”，在激發學生學習興趣的同時，又讓學生初步感知圓的特征；接下來設計觀察、操作、比較等操作活動，讓學生由淺入深、由表及里地探究出圓的特征；最后回歸到生活中解決實際問題，把所學到的知識應用于生活實際。總的來說，中國版教材的編排讓學生既理解概念、感知特征，又積累經驗、提高素養。

欣賞了東方的中國教材，我們再來看看西方的德國教材。德國小學只讀四年，數學教材分四冊，目前有30多種不同的版本，學校教師可自主選擇教材，教學方式也比較靈活，因人而異，以學生發展為主。下面我們來具體看看德國教材對《圓的認識》的編排。

一、情景導入方式多樣

以兩個版本的德國教材為例，一個是以象鼻熊命名的oldenbourg版本，一個是鴨子和猴子命名的westermann版本，這些動物就好比我們人教版數學教材中的小精靈聰聰和明明。

oldenbourg版本

westermann版本

德國這兩個版本的教材有著不同的開課設計。oldenbourg版本《畫圓》，開課設計了羊吃草的3個情境。

第一個情境：在圖上做了記號的地方生長可口的植物，山羊查理哪些夠得著，哪些夠不著？讓學生感知栓羊繩子長度決定羊吃草的范圍。

第二個情境：栓查理的繩子3米長，畫出山羊查理吃草的場所。引出圖形圓，并初步感知同圓中半徑相等。

第三個情境：農民埃爾文想把第二只山羊麥基也用3米長的繩子拴在樁子上，他要把樁子放多遠，才能夠避免兩只山羊為吃草而打架？讓學生感知決定圓的位子、大小的因素。

教材設計這三個層次的情境，讓學生在研究山羊吃草的問題中逐步抽象出圓，體驗、感悟圓的特征，感受數學價值、發展思維能力。

再來看westermann版的《圓的認識》，這個版本教材開課的設計就是觀察車輪畫圓，開門見山直奔研究主題——圓，接著展開活動：畫出不同半徑的圓，畫出不同直徑的圓。通過層層遞進的畫圓活動讓學生感受圓的特征。

二、動手操作豐富多彩

雖然德國教材兩個版本的開課設計不同，但在“畫圓”活動的設計中都留下了濃墨重彩的一筆。oldenbourg版本在課中設計有 11個畫圓活動，westermann版本設計有9個畫圓活動。oldenbourg版本和westermann版本里都設計有畫出指定半徑、直徑的圓；用圓規畫圓組成圖案。oldenbourg版本還有：畫出小羊吃草的場地；畫出不同大小、相互包圍、相互交叉、相切的圓；徒手畫圓和圓規畫圓的比較。德國教材中豐富多彩的畫圓活動設計，對學生的動手操作能力和空間觀念的培養大有裨益。

可見，中國教材和德國教材各有千秋、各具特色。兩國教材的不同之處也是顯而易見的。

一、課題的區別

以德國oldenbourg版本的教材為例，它的課題是“畫圓”。中國所有版本的教材課題都是“圓的認識”。

德國教材的特色體現在“畫”上，教材的編排都是圍繞著“畫”來展開。

首先是畫出小羊吃草的草地的形狀：

拴Charly的繩子長3米。在學校院子里用棍子、繩子標示出山羊Charly吃草的場所。思考，你們怎么做？

A）查理吃草的場地是什么形狀？

B）在畫圖過程中你們積累了什么經驗？

C）要成功畫圓，你們會給出什么建議？

其次，是畫大小不同的圓、相互包圍的圓、相互交叉的圓、相切的圓：

通過練習你可以用圓規在練習薄上干凈地畫出圓。

A）畫出不同大小的圓。

B）畫出相互包圍的圓。

C）畫出相互交叉的圓。

D）畫出相切的圓。

再次，是徒手畫圓和用圓規畫圓相比較：

徒手畫圓，然后再用圓規試試。

最后，是嘗試畫出由圓組成的復雜圖案。

德國教材對本課的編排意圖是“畫”中學，讓學生用“畫”來解決問題，在“畫”中感知圓的特點、位置關系、大小，在各式各樣“畫”的活動中積累數學經驗，感受數學價值，體驗成功喜悅。

中國教材的特色體現在“認識”上。以北師大版和人教版教材為例，教材圍繞“認識”的主題，設計了以下環節。

首先，從生活現象里感受圓存在的必要性：

北師大版

其次，嘗試畫圓，自學有關圓的概念：

北師大版

最后，在畫、折、比、推理等過程中感知圓的特征：

人教版

這些環節的設計邏輯緊密、環環相扣，既有靜悄悄的思考、自學，又有熱騰騰的活動、交流。學生的學習途徑和方法是多元化的，體驗是豐富的。一個小小的課題投射出了兩國不同的教育理思想和理念。

二、邏輯順序的區別

德國教材是從現實問題“畫小羊吃草的區域”開始的，感知圓心（木桿）、繩子（半徑）、羊的吃草區域（圓形），感受同圓中半徑處處相等，之后逐漸從現實問題中抽象出圖形“圓”，再來研究決定圓的大小、位置的因素。教材的設計是從具體到抽象，符合學生的認知規律。

我們以北師大版為例，來看看中國教材編排的邏輯順序。從生活情景導入后，讓學生自主探究圓的畫法，學習圓的概念，研究圓里直徑、半徑的關系以及圓的大小、位置的決定因素。當學生明晰了圓的特點之后呈現生活中的問題：“車輪為什么是圓的？”學生通過小實驗嘗試著尋找答案，解釋生活中有關圓的現象。

我國教材是按照從“圖形研究”到“解決問題”的順序，體現了學以致用，凸顯了應用價值。

三、側重點的區別

德國教材對于圓形的特征只是讓學生感知，沒有關于圓、直徑、半徑概念的科學定義，也沒有研究同一個圓里直徑、半徑的長度關系。而對于圓的位置和大小的探究活動設計十分飽滿，通過畫大小不同的圓、相互包圍的圓、相互交叉的圓、相切的圓等過程讓學生充分體驗圓的大小、位置和什么因素有關。

德國Westermann版本

以德國Westermann版本的教材為例，上圖上排的同心圓是位置相同、大小不同的圓形，而下排是大小相同、位置不同的圓。學生在畫圓的過程中探究確定圓的大小、位置的因素，充分培養了學生的空間觀念。可見，德國教材力求通過豐富、多層次的“畫”圓活動讓學生解決問題，體驗、感悟圓的特征，從而幫助學生積累活動經驗，發展空間觀念，感受數學價值。

中國教材的編排是既關注知識的獲取，又注重能力的培養。中國各種版本教材對圓的半徑、直徑的概念有規范的敘述，并設計有折、比、畫、量等活動讓學生在探究中認識圓各部分的名稱、發現圓的特征，意圖讓學生在探究活動中不斷衍生出新的疑問，促使學生在不斷的思索中豐盈、完善對圓的認知，建立新的認知結構。而在對圓的位置和大小的探究環節就略顯單薄，只是通過畫同心圓和大小相同位置不同的圓來體會。中國教材知識結構緊密，層層遞進，環環相扣，學習方法、學習途徑多樣化，既有靜態的獨立思考又有動態的操作活動。中國教材設計更側重于學生推理能力的提高、模型思想的建立。

天下之大，可以融入教材；教材雖小，可以一覽世界。一番中德教材的對比，讓我們領略到來自中、德兩國不同文化的教材風采。我們期待著能欣賞到更多國家的教材，吸取精華，博采眾長，探索出更適合我國學生發展的數學教材。