數形結合塑模型 假設變量尋不變
——“分數除法解決問題例7”教學實踐與評析

■ 武漢市江岸區岱山小學 楊石云

武漢市江岸區小學教研室 王 釗

一、教學背景

本節課教學內容是人教版數學六年級上冊《分數除法》單元中的例7，也是教材新加入的內容。人教社教師教學用書中指出，本例采用的素材是“工程問題”，但并不是要求學生解決形形色色的“工程問題”，而是要借此讓學生經歷自主探究、解決問題的過程，掌握用假設、驗證等方法解決問題的基本策略，讓學生體會模型思想。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（《以下簡稱《標準》）中關于數學思考第二學段的目標中提到，在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理地思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。會獨立思考，體會一些數學的基本思想。把解決問題例7安排在分數解決問題這個部分，不是單純地教學工程問題的數量關系，而是用這個素材讓學生經歷數學思考的過程，學習數學思考的方法——假設法，培養學生歸納概括、抽象推理的能力。

然而在本節課的教學中，我們常常會發現，無論是假設具體數據還是抽象的單位“1”為路長，這種外在的形式學生容易模仿，真正的難點是對課中的核心問題“為什么假設的總路長不同，最后算出來的總天數卻不變”的理解?！稑藴省分兄赋觯簬缀沃庇^主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要的作用。因此，本節課的教學中，教師利用數形結合的思想，以線段圖為載體、松緊帶作為學具，向學生直觀展示“兩隊每天修的長度占總長度的幾分之幾是不變的”這一抽象的結論。

二、教學設計

教學目標

1.讓學生理解并掌握把工作總量看作單位“1”的分數解決問題的基本特點、解題思路和解題方法。

2.經歷用假設法解決問題的探索過程，理解和掌握假設策略，培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

3.激發學生的學習興趣，感受抽象和模型思想。

教學重點

能利用假設法解決把工作總量當作單位“1”的實際問題。

教學難點

理解假設不同數據得出相同結論的數學本質。

教學準備

多媒體課件，分別表示一隊、二隊、兩隊合修道路的三條松緊帶。

教學過程

（一）復習引入，線段圖初建模型

1.口答下面各題，并說說運用了哪些關系式？

（1）一條道路長 30米，如果每天修 6米，（ ）天可以修完。

（2）一條道路長40米，如果每天修（ ）米，5天可以修完。

（3）一條道路長（ ）米，如果每天修10米，5天可以修完。

2.看看這三道題，為什么道路的長度在不斷增加，完成的天數卻沒有變？

生1：因為每天修的長度也在增加。

生2：因為總路程除以每天修的米數（工作效率）得到的商都是5。

3.出示線段圖，揭示問題的本質。

現在你們看看，為什么完成的天數都是5天呢？

評析：在復習導入這一環節，引導學生復習回顧簡單的含有工作效率、工作時間和工作總量的實際問題，并將這樣的題目用線段圖來表示，通過幾何的直觀性，在引導學生看圖的過程中讓學生體會到——只要每天修的長度占總長度的沒有變，那么完成的天數一定就是5天。在此，學生初步體會到完成的天數5的倒數和每天修的長度占總長度的之間的潛在聯系，為后續例題的學習做好鋪墊。

（二）創設情境，假設法呼之欲出

2017年8月8日21時19分，四川九寨溝縣發生7.0級地震，很多道路受損嚴重。兩個施工隊接到任務同時趕往災區，課件展示課本情境圖。

1.從圖中你得到了哪些數學信息？

生：這條道路，如果一隊單獨修，12天才能修完；如果二隊單獨修，18天才能修完。

2.為了盡快幫助災區人民疏通道路，如果你是搶修隊的總指揮長，你打算怎么辦？

生：兩隊合修，這樣速度更快一些。

3.請你估計一下，兩隊合修可能需要幾天完成？

生：（12+18）÷2=15（天）。

4.一隊單獨修12天就能修完，兩隊合修怎么還要15天呢？到底是多少天？（激發學生進一步思考）

生1：5天。

生2：6天，反正我覺得肯定比12天少。

5.這些都只是同學們的猜測，你們是不是遇到了什么困難？

生：這道題沒有告訴我們道路的長度。

6.你能想出什么好辦法解決道路長度的問題呢？

生：我們可以自己假設道路的長度為多長。

7.你認為假設成什么數據，會使你的計算更加簡便。

生1：我假設公路總長度為18km。

生2：我想假設公路的總長度為36km，因為36是18和12的最小公倍數。

評析：當第一次面對解決例7時問題，多數學生會感到困難。因為缺乏總路程的具體數量，學生原有認知經驗不足以調取所需信息，由此產生信息不足的困惑。教師通過“能不能假設公路的總長度”作為點撥，幫助學生自主形成了用假設法解決問題的思路。在情境的創設中教師的一步步導問，使得通過假設法來解決問題的策略呼之欲出。

（三）數形結合，假設變量尋不變

1.請各個同學匯報自己假設的公路總長以及計算出的相應數據，教師通過學生的回答，完善表格。

（要修的路）假設為： 18km 36km 1一隊每天修多少？ 18÷12=1.5（km）36÷12=3（km）1÷12=1 12二隊每天修多少？ 18÷18=1(km) 36÷18=2(km) 1÷18=1 18

兩隊合修，每天修多少？ 1.5+1=2.5(km) 3+2=5(km) 1 1 2+1_18= 53 6兩隊合修，需要多少天？18÷2.5=7.2= 71 36÷5=36 5 6= 36 1÷5 3 5(天)=715(天)5=71 5（天）

2.教師提問，學生討論。為什么假設的道路長度不一樣，但最后兩隊需要的天數是一樣的？

生1：道路越長，一二隊每天修的路程也相應的變長了。

生2：因為被除數和除數同時擴大了相同的倍數，商不變。

生3：因為一隊和二隊獨自完成的天數沒有變，所以一起完成的天數也不會變。

3.教師借助松緊帶，數形結合，幫助學生理解變中不變的本質。

評析：在演示中，原始長度一樣、同時又可變長或變短的三條松緊帶，分別演示一隊修路情況、二隊修路情況以及兩隊合修的情況。松緊帶可長可短變化的特殊演示，形象而又直觀地體現了雖然路的總長度在假設的過程中不斷變化，但是一隊和二隊每天修的長度占總長度的幾分之幾沒有改變，那么兩隊合修時，每天修的長度和占總長度的幾分之幾也不會改變。松緊帶教具的引入，是數形結合在本節課中突破難點的一次重要體現，學生直觀的感受到：無論道路的長度假設為多少公里，兩隊合修的天數都一樣，所以較簡便的方法就是將這條道路假設為“1”。

（四）對比練習，變中不變建模型

1.一批貨物，只用甲車運，3次就能運完；只用乙車運，6次才能運完。如果兩輛車一起運，多少次能運完這批貨物？

2.打印一批文件，甲單獨打需要3小時，乙單獨打需要6小時。為了盡快完成打印任務，兩人決定合打，多少時間能打成？

3.塑料游泳池有兩個排水口，如果只打開A口，3分鐘能放完游泳池里的水，如果只打開B口，需要6分鐘。如果兩個出水口同時打開，幾分鐘分可以全部放完游泳池里的水？

生1：這三道題都是一起合作的，比如第1題是一起運東西，第2題一起打文件，第3題是兩個排水口一起排水。

生2：都是不知道工作總量的。需要我們來假設工作總量。

師：同學們，你們說得都很好。如果一項工程，甲單獨做需要a小時，乙單獨做需要b小時，兩人合作幾小時能夠完成？怎樣列式？

評析：通過運貨、打印、排水等情境對比，幫助學生梳理相同之處，凸顯了分數除法解決例7問題的本質特征，并通過字母抽象出總量用1表示的分數除法解決問題的模型。

（五）回顧梳理，建構模型談收獲

1.課堂小結。

2.課堂作業：課本第45頁 6、7題。

3.家庭作業：課本第45頁 8、9題。

三、分析研究

（一）假設變量，探尋變中有不變

數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象和概括，如抽象、分類、歸納、演繹、推理等。學生在積極參與數學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想。這些數學思考方法的習得不是一朝一夕的形成，必須由學生通過大量的數學活動逐步獲得。

在教學片段（二）中，根據學生的知識基礎這里沒有兩隊合修的長度，他們利用工作總量、工作效率、工作時間三量關系無法解決。因此，教師在這一環節進行了引導，引導學生可以“假設這條道路的長度”，讓學生通過自己假設的數據嘗試解決問題。

在教學片段（三）中，教師將不同學生的答案通過表格投影展示出來，引導學生觀察對比：“看了上面幾位同學的做法，你有什么發現？”學生通過假設不同的總路長，發現總路長不同，算出的總天數都是相同的，此時教師引導學生思考：總天數和總路長有關系嗎？為什么總路長改變，得到的總天數卻是不變的？有了前面復習引入環節的鋪墊，經過小組討論，學生從多種角度解釋了這個問題：因為一隊和二隊每天修的長度分別是這條公路長度的，所以完成的天數也不會變。

在教學片段（一）中，學生有了第一次的觀察對比的經歷，初步體會到變化中存在著不變；在教學片段（三）獨立假設總路長計算出例題的結果后，教師再次引導學生進行了第二次的觀察對比，所提出的問題與教學片段（一）復習引入的環節中的問題類似，學生很快進行了類比聯系。兩次觀察對比，一次比一次更加深入，既溝通了知識之間的聯系，又再次加深了學生對于“變化中有不變量”的數學思想的認識。

（二）數形結合，挖掘數學本質

數學家華羅庚說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，割裂分家萬事休。”數形結合的思想方法能夠巧妙地實現數與形之間的互換，使得看似復雜的問題變得簡單而又直觀，讓學生觀察探尋到變化中尋求不變量的本質問題。

在教學片段（一）中，通過線段圖的對比，學生初步認識到，只要每天修的米數占總長度的這個數量關系不變，那么最后完成的天數肯定就是5天。通過線段圖的直觀呈現，學生初步探尋到“變中尋找不變”的相關規律。

在教學片段（三）中，通過表格的直觀演示，學生很自然地產生疑問：“兩隊合修的長度不同，為什么都是天完成呢？”這就自然地引發學生思考并進入解決問題的過程。當學生的回答只停留于表面現象時，教師通過松緊帶的直觀演示。這里松緊帶教具的引入，與線段圖相比，可以向學生更加直觀地演示其變長縮短的過程。對于新鮮的教具，學生觀察起來興致也比較高，在高漲的學習熱情中理解了本節課的教學難點。

（三）積累經驗，提升數學素養

《標準》中指出，數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，而數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數學學習活動過程逐步積累的。

本道例題作為總量用1表示的分數除法，就已經比較抽象，而作為一個數學模型的建立，抽象難度更大。在教學片段（四）中，通過算式同為的運貨、打印、排水情境的問題比較，學生經歷了同素異構的抽象，較好感知了的解決問題模型。

本節課學生充分地經歷了假設、驗算、推理、歸納、數形結合的思維過程，核心問題的分析理解過程，數學模型感知和解決問題策略形成的過程，有效地落實了發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養與訓練。

總之，這節課的教學以學習方法的探究為主，打破總量用1表示的分數除法解決問題的傳統教學模式，以基本數量關系為基礎，通過“假設法”引導學生探究此類型解決問題的結構特征，通過數形結合的方法，討論“假設數據不同，得到的結果相同”的原因，深入理解總量用1表示的分數除法解決問題的實際意義，拓寬學生對分數除法解決問題的理解。