巧轉化
——抽象問題不再難

河北省保定市河北安新中學 楊文增

高中數學的好多知識是很抽象的，面對課本上抽象的概念、符號、公式、定理等，學生很容易產生心理疲勞甚至心理恐懼，如果老師處理不當，就會使學生“怕數學”，甚至“煩數學”，從而使數學學習變成沉重而無奈的負擔。不過，再抽象的知識也是源于現實生活的，假如在課堂上能給枯燥的數學穿上一身生動有趣的生活化外衣，就能讓數學顯得豐富、飽滿、實用，同時還能提高學生學習數學的興趣。

學生學習時之所以有“怕”的感覺，主要是由問題的抽象性引起的。解決與現實生活密切相關的問題時，學生幾乎沒有茫然的感覺，問題解決得得心應手。這樣一想，解決抽象問題的重要方法之一就是將其具體化、形象化、生活化，即盡量轉化為與現實生活相關的問題。遇到抽象的問題，將原題轉換一下，讓學生走進問題中，成為問題解決的“主人”。這樣做既激發了學生的學習興趣，又活躍了課堂氣氛，還充分發揮了學生的“主體”作用。遇到抽象問題時，到底如何轉化？這個問題沒有固定答案，可能是讓學生當“演員”來“表演”，也可能是讓學生通過動手作圖的方式解決，還可能是借助現實生活中的實物，更可能是其他“因題而異”的方式。

【例1】由1、2、3、4、5、6、7可以組成多少個1、2相鄰且3、4相鄰的數？

問題分析：如果沒有附加“1、2相鄰且3、4相鄰”，那是最基本的排列組合問題?，F在問題有了限制條件，如何解決？通過審題發現這個問題可以轉化為人員排隊問題：“不同的7人站成一排進行排隊,要求其中的甲、乙相鄰，同時丙、丁也相鄰,請問一共有多少種不同的排法？”經過這樣轉化后，給學生的感覺就比原題具體多了，而且學生可以親自參與到問題當中。

問題解決：安排7名學生在講臺上當眾按題意進行排隊，讓學生親自參與排隊的目的是通過幾次（哪怕是十幾次）的排隊試驗，找到解決問題的方法。排隊的同時，其他同學也都在思考解決方法，不一會兒，同學們就有了一致的看法：采用捆綁法，先將甲、乙兩人看成一組組成一個整體，同時丙、丁也看成另一個整體，再同其他人進行排隊，最后一組內的兩人再進行排隊。根據分步計數原理，可得共有種排法。

問題總結：某幾個元素必須排在一起的排列組合問題,可使用上面的“捆綁法”來解決問題。但是要注意捆綁成一體的內部是否進行排列，要根據題意來決定。

【例2】設命題甲：0≤x≤3，命題乙：|x-1|≤4，則乙是甲成立的（ ）

A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.不充分也不必要條件

問題分析：直接判斷很容易出錯，如果將兩個命題在數軸上表示出來，將很直觀。

問題解決：由一名學生先解出命題乙，再在黑板上畫出數軸并表示命題甲和乙。（其他同學在草稿紙上同時進行）總結：命題成立問題涉及范圍可以借助數軸直觀形象地去解決。

【例3】已知關于x的方程x2+（a-1）x+1=0有兩相異實根，且兩根均在區間[0,2]上，求實數a的取值范圍。

問題分析：這是方程的根的分布問題，僅靠記憶總結的公式和規律,很容易記錯。若結合函數圖象學習、理解、記憶、解決根的分布問題，就非常直觀明了、印象深刻。

問題解決：首先,令f（x）=x2+（a-1）x+1。說方程兩相異實根在區間[0，2]上，也就是說對應的函數f（x）的圖象與x軸在區間[0,2]上有兩個不同的交點。

問題總結：方程的根的問題與相應的函數圖象的交點問題是相關的。數形結合是重要的解題思想。

【例4】在立體幾何的教學中，遇到過這樣一個問題：定理“平面內，如果一個角的兩條邊分別和另一個角的兩條邊相互垂直，那么這兩個角相等或互補”，改成“如果一個二面角的兩個半平面分別和另外一個二面角的兩個半平面垂直，則這兩個二面角相等或互補”，是否成立？

我曾經試圖在黑板上畫圖解釋這一問題，結果非常失敗。好多同學們發現教室的門與墻壁構成的二面角和地板與教室間的隔墻構成的二面角恰好符合題意，由于門可以開合而始終保持這種垂直關系，也就是其中一個二面角可以是任意角，因此修改后的命題是不成立的。這樣借助身邊的實物彌補了傳統教學手段的不足，同時也激發了學生學習數學的興趣，又啟發學生去積極主動發現、研究生活中的數學問題。

生活是一切知識的源泉，所以在數學教學的時候，就需要老師們積極創造條件，挖掘生活中的數學，將抽象的問題盡可能地轉化為與學生實際生活貼近、實際知識有聯系的問題進行解決。這能夠進一步活躍課堂氣氛，更能全面地調動學生的學習興趣，同時發揮老師的主導作用和學生的主體作用。

[1]周先華．高中數學核心素養之數學抽象能力的培養實踐初探[J]．數理化解題研究，2017（19）．

[2]陸建．落實數學抽象素養應立足課堂、扎根教學[J]．中小學數學（高中版），2017（Z2）．

[3]楊興軍，高思霞．培育“抽象思維”素養的研究性學習[J]．中小學數學（高中版），2017（Z2）．