探究三元函數(shù)最值的求解策略

江蘇省盱眙中學(xué)高三（21）班 葉濘琿

最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，處理多變量函數(shù)的最值問(wèn)題通常需要減元。在高三復(fù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，近幾年在高考中經(jīng)常出現(xiàn)三元函數(shù)(含有三個(gè)變?cè)暮瘮?shù))的最值問(wèn)題，而且難度較大，同學(xué)們對(duì)這類(lèi)問(wèn)題感覺(jué)比較棘手，本人對(duì)此問(wèn)題做了一些探究，以幾例分析求解策略如下，僅供參考。

一、代入減元

解后反思：當(dāng)給出三元條件等式求一個(gè)三元函數(shù)的最值時(shí)，通常將三元條件等式中的兩個(gè)變?cè)昧硗庖粋€(gè)變?cè)硎敬霚p元，轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)求最值問(wèn)題。

二、重組變?cè)?/h2>

解后反思：初看這是一個(gè)三元式的最值問(wèn)題，無(wú)法直接利用基本不等式來(lái)解決。換個(gè)思路，可考慮將展開(kāi)重新組合，變于是就可以利用二元基本不等式求解了。

三、“1”的代換

例3.（2013蘇南四校12月檢測(cè)）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足

解后反思：本題直接用條件等式x+2y+z=1，將三元函數(shù)中的“1”換成條件等式的左邊，然后分離，把“x+y”和“y+z”當(dāng)作整體，轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)求最值問(wèn)題。

四、并元處理

思路分析：根據(jù)題意可得f '（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，則a＞0，Δ=b2-4ac≤0。

五、數(shù)形結(jié)合

例5.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，c≠0，則的取值范圍為_(kāi)____ 。

解后反思：本題考查了三角函數(shù)換元法、直線(xiàn)的斜率計(jì)算公式、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想，考查了推理能力與計(jì)算能力。

六、兩次變形

例6.(2017無(wú)錫期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b＝2，則的最小值為 。

思路分析：根據(jù)目標(biāo)式的特征，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃危没静坏仁街R(shí)求解。

解后反思：本題的關(guān)鍵是首先通過(guò)固定變量c(視a，b為主元)，然后利用代換(齊次化)、配湊等技巧對(duì)代數(shù)式進(jìn)行兩次變形使用二元基本不等式，并結(jié)合不等式的性質(zhì)巧妙地求得了最小值。

七、逐步消元

例7.已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，令xyz的最大值是_______。

令 f（x）=xyz=z3-z2-z，則 f'（x）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1），

解后反思：由條件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，逐步消元可得xyz=z3-z2-z，利用導(dǎo)數(shù)的方法，可求出xyz的最大值。

八、各個(gè)擊破

例8.（2017泰興中學(xué)）已知x，y，z均為非負(fù)數(shù)且x+y+z=2，則的最小值為 。

思路分析：∵x≥0，y≥0，z≥0，且x+y+z=2，∴z=2-x-y≥0，即x+y≤2。令函數(shù)則 f′ (x)=x2-1， 當(dāng) x∈ (0，1)時(shí)，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f′(x)＞0，∴f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，∴f(x)min=f(1)。同理：令g(y)=y2-y，則g′(y)=2y-1，當(dāng)時(shí)，g′ (y)＜0，∴ g(y)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，g′(y)＞0，∴g(y)在上單調(diào)遞增，

解后反思：本題求解不知道如何下手，但是容易想到將z=2-x-y代入化為二元問(wèn)題，突破口是分別把x，y當(dāng)作主元，得到個(gè)一元函數(shù)分別利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性，求其最小值即可。