探究三元函數最值的求解策略

江蘇省盱眙中學高三（21）班 葉濘琿

最值問題是高中數學學習的重點和熱點問題，處理多變量函數的最值問題通常需要減元。在高三復習中發現，近幾年在高考中經常出現三元函數(含有三個變元的函數)的最值問題，而且難度較大，同學們對這類問題感覺比較棘手，本人對此問題做了一些探究，以幾例分析求解策略如下，僅供參考。

一、代入減元

解后反思：當給出三元條件等式求一個三元函數的最值時，通常將三元條件等式中的兩個變元用另外一個變元表示代入減元，轉化為二元函數求最值問題。

二、重組變元

解后反思：初看這是一個三元式的最值問題，無法直接利用基本不等式來解決。換個思路，可考慮將展開重新組合，變于是就可以利用二元基本不等式求解了。

三、“1”的代換

例3.（2013蘇南四校12月檢測）設正實數x，y，z滿足

解后反思：本題直接用條件等式x+2y+z=1，將三元函數中的“1”換成條件等式的左邊，然后分離，把“x+y”和“y+z”當作整體，轉化為二元函數求最值問題。

四、并元處理

思路分析：根據題意可得f '（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，則a＞0，Δ=b2-4ac≤0。

五、數形結合

例5.已知實數a，b，c滿足a2+b2=c2，c≠0，則的取值范圍為_____ 。

解后反思：本題考查了三角函數換元法、直線的斜率計算公式、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了數形結合及轉化思想，考查了推理能力與計算能力。

六、兩次變形

例6.(2017無錫期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b＝2，則的最小值為 。

思路分析：根據目標式的特征，進行恰當的變形，利用基本不等式知識求解。

解后反思：本題的關鍵是首先通過固定變量c(視a，b為主元)，然后利用代換(齊次化)、配湊等技巧對代數式進行兩次變形使用二元基本不等式，并結合不等式的性質巧妙地求得了最小值。

七、逐步消元

例7.已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，令xyz的最大值是_______。

令 f（x）=xyz=z3-z2-z，則 f'（x）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1），

解后反思：由條件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，逐步消元可得xyz=z3-z2-z，利用導數的方法，可求出xyz的最大值。

八、各個擊破

例8.（2017泰興中學）已知x，y，z均為非負數且x+y+z=2，則的最小值為 。

思路分析：∵x≥0，y≥0，z≥0，且x+y+z=2，∴z=2-x-y≥0，即x+y≤2。令函數則 f′ (x)=x2-1， 當 x∈ (0，1)時，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上單調遞減；當x∈(1，2)時，f′(x)＞0，∴f(x)在(1，2)上單調遞增，∴f(x)min=f(1)。同理：令g(y)=y2-y，則g′(y)=2y-1，當時，g′ (y)＜0，∴ g(y)在上單調遞減；當時，g′(y)＞0，∴g(y)在上單調遞增，

解后反思：本題求解不知道如何下手，但是容易想到將z=2-x-y代入化為二元問題，突破口是分別把x，y當作主元，得到個一元函數分別利用導函數研究單調性，求其最小值即可。