高中數學不等式易錯題型與解題技巧

江蘇省如東縣岔河中學 朱燕衛

隨著新課改內容的不斷深入，如何在課堂上實施素質化的教學，也成為數學老師在工作中的重要命題。很多高中數學教師開始在自己的課堂上扭轉以往單純靠大量刷題強化訓練的模式，更注力于高中生學科思維能力的養成。在對不等式對應習題訓練時，可整理出一些關于不等式常見的易錯題型，從方法上進行較為系統的分析，期待能對我們的數學老師起到一些積極的影響。

一、與線性規劃相結合的問題

在高中數學不等式內容的學習中，學生經常會面臨的一類問題就是如何利用像人力、財力、物力等方面的資源，使得收益能夠最大化，抑或如何借助更少的資源注入使得任務能夠完成，這類問題被稱為“最優化”問題。在高中數學的學習中，關于這個知識點，多數學生犯錯的原因就是沒能構建清晰的解題思路，缺乏相應的解題技巧。在解決此類與“最優化”關聯的題目時，教師可引導學生從線性規劃的角度考慮，通過展開相關聯的問題來求解。

例1 某工廠準備生產甲、乙兩種產品，現知生產出一個甲產品需要使用A原料3公斤，B原料1公斤；生產一個乙產品，需消耗A原料2公斤，B原料2公斤。現廠內有A原料1.2噸，B原料0.8噸，若生產一個甲產品平均獲得30元利潤、生產一個乙產品平均可獲得40元利潤，則甲和乙兩種產品各生產多少件，才能獲得最大利潤，

最大利潤為多少？

像這類題的解答，學生往往不知道該從哪一步入手，所以為了清楚地把握解題內容，不妨將兩種商品的內容利用表格的形式對比出來：

甲產品 乙產品 原料限量A 3 2 1200 B 1 2 800利潤 30 40

接下來可依據題目提出的要求，分別設生產甲和乙產品x、y件時，能夠獲得最大利潤。從上面所列出的表格中各項數據之間的關系，可得如下不等式關系：3x+2y≤1200，x+2y≤80，x≥0，y≥0，這個時候不要急著分析方程組，先推論出利潤總額為L=30x+40y，根據x和y的不等關系，老師引導學生繪出相關的函數圖象。在觀察圖形內容時，需要讓學生明白L在函數圖象上所代表的幾何意義，不妨先對和L相關的方程進行推導：這是從目標函數所得到的結論，結合對圖形做動態分析，對產生變化的過程中的相關量的準確定位。令L=0，可以推導出L0：30x+40y=0。這時再根據函數圖中的可行區域，找出L取得最值點的位置，也就是3x+2y=1200、x+2y=800這兩條直線相交的點，x=200、y=300，進而可以得出Lmax=30×200+40×300=18000，所以，生產甲商品200件、乙商品300件，可以獲得最大利潤18000元。像這類與線性規劃結合的不等式問題中，關鍵點還是要明確各個條件的含義，找出它們之間的關系，繪出準確的函數關系圖，這樣才能得出合理的答案。

二、高次不等式的相關問題

在學習不等式時，高次不等式十分關鍵。學生在解決此類問題的過程中容易出現錯誤的地方主要表現為：其一，學生對于解集的區域分布不太明白，可能有些學生在解答的過程中能夠得出解集的范圍，但是對于具體的解集范圍邊界，學生還是拿捏不準，這主要是因為學生不能確定解集是否要取邊界值而造成的；其二，由于學生在解題時忽略了題目中一些比較隱晦的條件和要求，如在高次分式的不等式中，很多學生遺忘了分母不能為0這一基本原則，一個錯誤的理念只能得出一個錯誤的結果；其三，學生在使用“穿根法”進行解題的過程中，沒能很好地把握不等式函數的升降規律，影響了解題思路。

例2 求不等式（x+3）（x-2）（x-4）≤0的解集。

此時，解題思路的建立能夠順利解決此類問題。和其他階段的學習不同，高中數學更強調學生的解題思維，而不是計算能力。像這道題，老師可以幫助學生尋找突破口，可能有些學生對于不等式的解法不太明白，老師可以假設（x+3）（x-2）（x-4）=0，這時學生可以在坐標軸上得出三個零點，分別是-3，2，4，并且通過這個內容可以將數軸分成四個區間。這個時候要確定區間的正負問題，老師要引導學生將解題目光放在突破點上，根據方程的內容，可解出方程最右的第一區間是正區間，使用正負相間原理，進而得出剩下的區間正負情況。確定之后，可以將方程變換為原來的（x+3）（x-2）（x-4）≤0，找出負區間進行解答。所以，可以得出該不等式的解集為{x|2≤x≤4或x≤-3}。

在解決這類難題的時候，很多學生會被復雜的題干內容所迷惑，老師在進行講解時，最主要的一點就是幫助學生理清解題思路，使用函數圖象來劃定區間，進而根據不等式的內容解出答案。

三、不等式恒成立的問題

在高中不等式的學習中，學生也容易忽視不等式恒成立的相關問題，在例題的設計中，其往往與數列或者是抽象函數等內容相結合，較為抽象，這直接導致學生在解題時錯誤較多。近幾年的高考試題傾向于就含參不等式的恒成立問題來出題，因新課程標準及高考考試說明側重于導數應用內容要求，不等式的恒成立問題與導數問題交織正成為新高考下的命題走向。老師在教學中既要幫助學生掌握一定的解題技巧，像分離參數法、主參換位法、數形結合法以及函數性質法等內容，同時還要幫助學生在題目中有效提取可借用的知識模塊內容，以豐富自身的解題思路。

例3 已知x∈R，不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，根據以上已知條件求出實數m的取值范圍。

此類不等式問題因含有參數，學生難以拿捏答案的取值，所以老師在講解中，要讓學生有意識地將不等式轉化為二次函數或者是二次方程，通過根的判別內容或者利用數形結合的方法，將結果直觀的推理出來。像這道題，在解答中，不妨設f(x)=x2-2x+3-m，根據函數的性質進一步做出推斷，可得函數圖象為開口向上的拋物線，再從題干內容要求，為使f(x)≥0（x∈R），就需要Δ≤0，即（-2）2-4（3-m）≤0，可以進一步計算出m≤2 → m∈（-∞，2]。

該題中，含參不等式使得不等式恒成立的問題增加了難度系數，題目中給出了含有未知數的不等式，這樣在求解的過程中，必然要對未知參數進行全面分析，包括它在取值上有沒有限定、會不會存在一些特殊的結果。老師在對學生進行這方面的講解時，要讓學生明確解題思路，把握解題的關鍵。

在高中學習中，數學更像是一棵大樹，它由各種各樣的知識點共同構成，所以老師在進行教學的時候，不能將某個內容孤立地講解出來。由于多數學生已經具備了相應的解題能力，并且積累了一定的數學思維，所以老師要拓寬學生的解題思路，幫助他們進行內容的學習。不等式知識和其他知識的聯系緊密，并且在考試中的變化也多種多樣，所以老師在進行教學的時候，一定要幫助學生建立開放的學習態度，針對學生易錯的內容，從計算方法和解題思路兩個方面入手，對存在錯誤的地方找到對應解題切入點，有效規避錯誤的再次發生，促使學生提高解不等式相關試題的正確率。