“消參”破解“多參”，“鋪墊”化解難點
——以一道九上期末卷把關題的解析與教學為例

☉江蘇常熟市古里中學 浦長宇

近年來，隨著《中學數學（下）》等刊物上載文商榷與批判一些偽坐標系函數綜合題，研究各地區的中考試卷、縣區的期末試卷會發現，這類偽坐標系考題的數量大大減少，這確實是命題領域值得點贊的現象.隨之而來的是一類“含參”函數綜合題，這類含參函數題常常因為參數多，變形、轉化有難點，讓不少學生望而卻步，成為一類新的函數綜合問題，值得關注和研究.本文選用一道某地九上期末卷的把關題進行思路解析，并跟進教學微設計，供研討.

一、考題及思路解析

考題：在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，-1）在拋物線y=x2+bx+c（b＞0）.

（1）若b-c=4，求b、c的值.

（2）若該拋物線與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點C，則命題“對于任意一個k（0＜k＜1），都存在b，使得OC=k·OB”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請舉反例.

（3）將該拋物線平移，平移后的拋物線仍經過點A，點A的對應點A1為（1-m，2b-1）.當m≥時，求平移后拋物線的頂點所能達到的最高點的坐標.

思路解析：（1）把（1，-1）代入y=x2+bx+c，可得b+c=-2.

聯立b-c=4和b+c=-2，可得b=1，c=-3.

（2）由（1）中已得的b+c=-2，得c=-2-b.這樣就可將原解析式中的兩個參數通過“消參”變成y=x2+bx-2-b.

當x=0時，y=-2-b.

將待分析的OC=k·OB變形為.這樣還是不能直接看出分式的取值范圍，可以進一步變為k=.現在結合b>0，就容易分析出+2>2，即0＜k

再來分析命題“對于任意一個k（0＜k＜1），都存在b，使得OC=k·OB”. 一個細微的差別就比對出來了：0＜k＜1與0＜k.接下來，只要找到一個反例，得到k＜1區間的一個值，就可認定該命題為假命題.

（3）由（1）中已得的b+c=-2，改寫平移前的拋物線y=x2+bx+c，可得y=+c，即y=

因為平移后A（1，-1）的對應點為A（11-m，2b-1），分析可知，拋物線向左平移m個單位長度，向上平移2b個單位長度.則平移后的拋物線的解析式為y=-b+2b.即2+b.

接下來就成為p關于b的二次函數的最值分析問題，需要注意考慮自變量b的取值范圍，這是一個易錯點，結合m≥，所以b.所以0＜b

第（3）問有難點、易錯點：難點是解讀出平移規律，將平移后的拋物線的解析式寫出來，將點A的坐標代入，把參數m、b之間的相反數關系演算出來，并回代消參成只含b的含參二次函數問題，進一步把平移后的拋物線的頂點坐標用含b的代數式寫出來；易錯點是當得到頂點的縱坐標+b之后，匆忙配方后得到最值，而忽略了分析參數b的取值范圍0＜b

二、“一題一課”教學微設計

1.出示考題，基礎熱身.

例1 在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，-1）在拋物線y=x2+bx+c（b＞0）上.

（1）用含b的代數式表示c.

（2）若b-c=4，求b、c的值.

（3）在（2）的條件下，直接寫出此時拋物線的頂點坐標.

（4）將該拋物線向右平移1個單位，寫出此時拋物線的頂點坐標（用含b的式子表示）.

設計意圖：針對原考題的第（1）問，展開了系列設問，圍繞“消參”、拋物線的頂點坐標、向右平移的基礎知識的回顧，為后續探究進行熱身練習.

2.判斷命題的真假.

例2 在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2+bx-2-b（b＞0）與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點C，連接BC.

（1）當b=2時，求△OBC的面積.

（2）求tan∠OCB的值（用含b的式子表示）.

（3）分析tan∠OBC的取值范圍.

（4）小杰同學提出一個命題：“對于任意一個k（0＜k＜1），都存在b，使得OC=k·OB.”請判斷“小杰命題”的真假.若是真命題，給出必要的演算說明；若是假命題，試舉一個反例.

設計意圖：針對原考題的第（2）問設計了系列鋪墊式問題，讓難點得到逐一化解.

3.預設鋪墊，挑戰難題.

例3 在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2+bx-2-b（b＞0）經過定點D.

（1）直接寫出點D的坐標.

（2）將該拋物線平移，平移后的拋物線經過（1，-1），點D的對應點D為（1-m，2b-1）.m為常數，且m

①寫出平移后拋物線的頂點坐標（用只含b的式子表示）；

②求b的取值范圍；

③小藝同學經過演算發現，平移后拋物線的頂點所能達到的最高點能落在直線y=-1上.請判斷“小藝發現”是否正確，并說明理由.

設計意圖：開始先“反向”設問，讓學生發現定點D的坐標是（1，-1），再對比平移后的D1的坐標特點，寫出平移后的拋物線的解析式，再將（1，-1）代入可求出m與b之間的相反數關系；最后一問，變換設問方式，讓學生參與“小藝發現”的檢驗與評價，與原考題的第（3）問本質上是一致的.

三、進一步的教學思考

1.向學生傳遞“消參”策略，破解“多參”函數綜合題.

很多學生不適應多參數的函數綜合題，因為參數太多，難以建立方程求出參數的值，從而思路受阻.從上文列舉的題例來看，并不是所有參數都能被確定出來，但是可以把多個參數運用題中的條件進行轉化、消參，使得多個參數最后消成一個參數（如上文考題的第（3）問的參數m、b）被消去m，使得平移后的拋物線只含有一個參數b，從而分析拋物線的頂點.特別值得一說的是，數學解題策略往往具有某種一致性，比如，二元一次方程組的求解關鍵是消元，一元二次方程的求解靠的是降次，跟學生講清這些解題思想，而將其遷移到“多參”函數綜合題時，也要注意積累“消參”的解題策略.

2.研發“一題一課”，預設鋪墊問題啟發學生自主攻克難點.

由于不少地區常常把含參函數綜合題作為全卷最后一道大題，用以承擔區分選拔的功能，所以這類試題難度往往較大，特別是最后一問與前面的設問之間拉開的距離較大.于是，在組織講評這類考題時就要認真準備，而不是簡單的貫通思路、做出答案就進行講評，可以像上文這樣研發“一題一課”，對較難的問題給出鋪墊式設問，鋪平墊穩，有效化解難點，引導學生在鋪墊問題的啟發引導之下，自主攻克難點、貫通思路，學習解題的過程中也收獲解題自信.想來，這也是積極回應有老師提出的“難點處，請勿一帶而過”吧.

1.魏愛鳳.一道“偽坐標系”考題的教學思考與命題商榷［J］.中學數學（下），2017（11）.

2.蘇紅虹.突破“含參函數題”：數形結合與扎實運算——2017年福建中考第25題解析與教學微設計［J］.中學數學（下），2017（8）.

3.劉東升.并列式問題與遞進式求解——由一則解題教學案例說起［J］.中學數學教學參考（中），2012（8）.

4.俞丁立.解題教學，在難點處請勿“一帶而過”——以“有且只有”存在性探究問題為例［J］.中學數學（下），2017（9）.W