“消參”破解“多參”，“鋪墊”化解難點(diǎn)
——以一道九上期末卷把關(guān)題的解析與教學(xué)為例

☉江蘇常熟市古里中學(xué) 浦長宇

近年來，隨著《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》等刊物上載文商榷與批判一些偽坐標(biāo)系函數(shù)綜合題，研究各地區(qū)的中考試卷、縣區(qū)的期末試卷會發(fā)現(xiàn)，這類偽坐標(biāo)系考題的數(shù)量大大減少，這確實(shí)是命題領(lǐng)域值得點(diǎn)贊的現(xiàn)象.隨之而來的是一類“含參”函數(shù)綜合題，這類含參函數(shù)題常常因?yàn)閰?shù)多，變形、轉(zhuǎn)化有難點(diǎn)，讓不少學(xué)生望而卻步，成為一類新的函數(shù)綜合問題，值得關(guān)注和研究.本文選用一道某地九上期末卷的把關(guān)題進(jìn)行思路解析，并跟進(jìn)教學(xué)微設(shè)計(jì)，供研討.

一、考題及思路解析

考題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，-1）在拋物線y=x2+bx+c（b＞0）.

（1）若b-c=4，求b、c的值.

（2）若該拋物線與y軸交于點(diǎn)B，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，則命題“對于任意一個(gè)k（0＜k＜1），都存在b，使得OC=k·OB”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請舉反例.

（3）將該拋物線平移，平移后的拋物線仍經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1為（1-m，2b-1）.當(dāng)m≥時(shí)，求平移后拋物線的頂點(diǎn)所能達(dá)到的最高點(diǎn)的坐標(biāo).

思路解析：（1）把（1，-1）代入y=x2+bx+c，可得b+c=-2.

聯(lián)立b-c=4和b+c=-2，可得b=1，c=-3.

（2）由（1）中已得的b+c=-2，得c=-2-b.這樣就可將原解析式中的兩個(gè)參數(shù)通過“消參”變成y=x2+bx-2-b.

當(dāng)x=0時(shí)，y=-2-b.

將待分析的OC=k·OB變形為.這樣還是不能直接看出分式的取值范圍，可以進(jìn)一步變?yōu)閗=.現(xiàn)在結(jié)合b>0，就容易分析出+2>2，即0＜k

再來分析命題“對于任意一個(gè)k（0＜k＜1），都存在b，使得OC=k·OB”. 一個(gè)細(xì)微的差別就比對出來了：0＜k＜1與0＜k.接下來，只要找到一個(gè)反例，得到k＜1區(qū)間的一個(gè)值，就可認(rèn)定該命題為假命題.

（3）由（1）中已得的b+c=-2，改寫平移前的拋物線y=x2+bx+c，可得y=+c，即y=

因?yàn)槠揭坪驛（1，-1）的對應(yīng)點(diǎn)為A（11-m，2b-1），分析可知，拋物線向左平移m個(gè)單位長度，向上平移2b個(gè)單位長度.則平移后的拋物線的解析式為y=-b+2b.即2+b.

接下來就成為p關(guān)于b的二次函數(shù)的最值分析問題，需要注意考慮自變量b的取值范圍，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，結(jié)合m≥，所以b.所以0＜b

第（3）問有難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)：難點(diǎn)是解讀出平移規(guī)律，將平移后的拋物線的解析式寫出來，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，把參數(shù)m、b之間的相反數(shù)關(guān)系演算出來，并回代消參成只含b的含參二次函數(shù)問題，進(jìn)一步把平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)用含b的代數(shù)式寫出來；易錯(cuò)點(diǎn)是當(dāng)?shù)玫巾旤c(diǎn)的縱坐標(biāo)+b之后，匆忙配方后得到最值，而忽略了分析參數(shù)b的取值范圍0＜b

二、“一題一課”教學(xué)微設(shè)計(jì)

1.出示考題，基礎(chǔ)熱身.

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，-1）在拋物線y=x2+bx+c（b＞0）上.

（1）用含b的代數(shù)式表示c.

（2）若b-c=4，求b、c的值.

（3）在（2）的條件下，直接寫出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

（4）將該拋物線向右平移1個(gè)單位，寫出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含b的式子表示）.

設(shè)計(jì)意圖：針對原考題的第（1）問，展開了系列設(shè)問，圍繞“消參”、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、向右平移的基礎(chǔ)知識的回顧，為后續(xù)探究進(jìn)行熱身練習(xí).

2.判斷命題的真假.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2+bx-2-b（b＞0）與y軸交于點(diǎn)B，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BC.

（1）當(dāng)b=2時(shí)，求△OBC的面積.

（2）求tan∠OCB的值（用含b的式子表示）.

（3）分析tan∠OBC的取值范圍.

（4）小杰同學(xué)提出一個(gè)命題：“對于任意一個(gè)k（0＜k＜1），都存在b，使得OC=k·OB.”請判斷“小杰命題”的真假.若是真命題，給出必要的演算說明；若是假命題，試舉一個(gè)反例.

設(shè)計(jì)意圖：針對原考題的第（2）問設(shè)計(jì)了系列鋪墊式問題，讓難點(diǎn)得到逐一化解.

3.預(yù)設(shè)鋪墊，挑戰(zhàn)難題.

例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2+bx-2-b（b＞0）經(jīng)過定點(diǎn)D.

（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）將該拋物線平移，平移后的拋物線經(jīng)過（1，-1），點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D為（1-m，2b-1）.m為常數(shù)，且m

①寫出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用只含b的式子表示）；

②求b的取值范圍；

③小藝同學(xué)經(jīng)過演算發(fā)現(xiàn)，平移后拋物線的頂點(diǎn)所能達(dá)到的最高點(diǎn)能落在直線y=-1上.請判斷“小藝發(fā)現(xiàn)”是否正確，并說明理由.

設(shè)計(jì)意圖：開始先“反向”設(shè)問，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，-1），再對比平移后的D1的坐標(biāo)特點(diǎn)，寫出平移后的拋物線的解析式，再將（1，-1）代入可求出m與b之間的相反數(shù)關(guān)系；最后一問，變換設(shè)問方式，讓學(xué)生參與“小藝發(fā)現(xiàn)”的檢驗(yàn)與評價(jià)，與原考題的第（3）問本質(zhì)上是一致的.

三、進(jìn)一步的教學(xué)思考

1.向?qū)W生傳遞“消參”策略，破解“多參”函數(shù)綜合題.

很多學(xué)生不適應(yīng)多參數(shù)的函數(shù)綜合題，因?yàn)閰?shù)太多，難以建立方程求出參數(shù)的值，從而思路受阻.從上文列舉的題例來看，并不是所有參數(shù)都能被確定出來，但是可以把多個(gè)參數(shù)運(yùn)用題中的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化、消參，使得多個(gè)參數(shù)最后消成一個(gè)參數(shù)（如上文考題的第（3）問的參數(shù)m、b）被消去m，使得平移后的拋物線只含有一個(gè)參數(shù)b，從而分析拋物線的頂點(diǎn).特別值得一說的是，數(shù)學(xué)解題策略往往具有某種一致性，比如，二元一次方程組的求解關(guān)鍵是消元，一元二次方程的求解靠的是降次，跟學(xué)生講清這些解題思想，而將其遷移到“多參”函數(shù)綜合題時(shí)，也要注意積累“消參”的解題策略.

2.研發(fā)“一題一課”，預(yù)設(shè)鋪墊問題啟發(fā)學(xué)生自主攻克難點(diǎn).

由于不少地區(qū)常常把含參函數(shù)綜合題作為全卷最后一道大題，用以承擔(dān)區(qū)分選拔的功能，所以這類試題難度往往較大，特別是最后一問與前面的設(shè)問之間拉開的距離較大.于是，在組織講評這類考題時(shí)就要認(rèn)真準(zhǔn)備，而不是簡單的貫通思路、做出答案就進(jìn)行講評，可以像上文這樣研發(fā)“一題一課”，對較難的問題給出鋪墊式設(shè)問，鋪平墊穩(wěn)，有效化解難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在鋪墊問題的啟發(fā)引導(dǎo)之下，自主攻克難點(diǎn)、貫通思路，學(xué)習(xí)解題的過程中也收獲解題自信.想來，這也是積極回應(yīng)有老師提出的“難點(diǎn)處，請勿一帶而過”吧.

1.魏愛鳳.一道“偽坐標(biāo)系”考題的教學(xué)思考與命題商榷［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（11）.

2.蘇紅虹.突破“含參函數(shù)題”：數(shù)形結(jié)合與扎實(shí)運(yùn)算——2017年福建中考第25題解析與教學(xué)微設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（8）.

3.劉東升.并列式問題與遞進(jìn)式求解——由一則解題教學(xué)案例說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（8）.

4.俞丁立.解題教學(xué)，在難點(diǎn)處請勿“一帶而過”——以“有且只有”存在性探究問題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（9）.W