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“消參”破解“多參”,“鋪墊”化解難點
——以一道九上期末卷把關題的解析與教學為例

2018-03-30 06:16:46江蘇常熟市古里中學浦長宇
中學數學雜志 2018年6期
關鍵詞:拋物線解題

☉江蘇常熟市古里中學 浦長宇

近年來,隨著《中學數學(下)》等刊物上載文商榷與批判一些偽坐標系函數綜合題,研究各地區的中考試卷、縣區的期末試卷會發現,這類偽坐標系考題的數量大大減少,這確實是命題領域值得點贊的現象.隨之而來的是一類“含參”函數綜合題,這類含參函數題常常因為參數多,變形、轉化有難點,讓不少學生望而卻步,成為一類新的函數綜合問題,值得關注和研究.本文選用一道某地九上期末卷的把關題進行思路解析,并跟進教學微設計,供研討.

一、考題及思路解析

考題:在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,-1)在拋物線y=x2+bx+c(b>0).

(1)若b-c=4,求b、c的值.

(2)若該拋物線與y軸交于點B,其對稱軸與x軸交于點C,則命題“對于任意一個k(0<k<1),都存在b,使得OC=k·OB”是否正確?若正確,請證明;若不正確,請舉反例.

(3)將該拋物線平移,平移后的拋物線仍經過點A,點A的對應點A1為(1-m,2b-1).當m≥時,求平移后拋物線的頂點所能達到的最高點的坐標.

思路解析:(1)把(1,-1)代入y=x2+bx+c,可得b+c=-2.

聯立b-c=4和b+c=-2,可得b=1,c=-3.

(2)由(1)中已得的b+c=-2,得c=-2-b.這樣就可將原解析式中的兩個參數通過“消參”變成y=x2+bx-2-b.

當x=0時,y=-2-b.

將待分析的OC=k·OB變形為.這樣還是不能直接看出分式的取值范圍,可以進一步變為k=.現在結合b>0,就容易分析出+2>2,即0<k

再來分析命題“對于任意一個k(0<k<1),都存在b,使得OC=k·OB”. 一個細微的差別就比對出來了:0<k<1與0<k.接下來,只要找到一個反例,得到k<1區間的一個值,就可認定該命題為假命題.

(3)由(1)中已得的b+c=-2,改寫平移前的拋物線y=x2+bx+c,可得y=+c,即y=

因為平移后A(1,-1)的對應點為A(11-m,2b-1),分析可知,拋物線向左平移m個單位長度,向上平移2b個單位長度.則平移后的拋物線的解析式為y=-b+2b.即2+b.

接下來就成為p關于b的二次函數的最值分析問題,需要注意考慮自變量b的取值范圍,這是一個易錯點,結合m≥,所以b.所以0<b

第(3)問有難點、易錯點:難點是解讀出平移規律,將平移后的拋物線的解析式寫出來,將點A的坐標代入,把參數m、b之間的相反數關系演算出來,并回代消參成只含b的含參二次函數問題,進一步把平移后的拋物線的頂點坐標用含b的代數式寫出來;易錯點是當得到頂點的縱坐標+b之后,匆忙配方后得到最值,而忽略了分析參數b的取值范圍0<b

二、“一題一課”教學微設計

1.出示考題,基礎熱身.

例1 在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,-1)在拋物線y=x2+bx+c(b>0)上.

(1)用含b的代數式表示c.

(2)若b-c=4,求b、c的值.

(3)在(2)的條件下,直接寫出此時拋物線的頂點坐標.

(4)將該拋物線向右平移1個單位,寫出此時拋物線的頂點坐標(用含b的式子表示).

設計意圖:針對原考題的第(1)問,展開了系列設問,圍繞“消參”、拋物線的頂點坐標、向右平移的基礎知識的回顧,為后續探究進行熱身練習.

2.判斷命題的真假.

例2 在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=x2+bx-2-b(b>0)與y軸交于點B,其對稱軸與x軸交于點C,連接BC.

(1)當b=2時,求△OBC的面積.

(2)求tan∠OCB的值(用含b的式子表示).

(3)分析tan∠OBC的取值范圍.

(4)小杰同學提出一個命題:“對于任意一個k(0<k<1),都存在b,使得OC=k·OB.”請判斷“小杰命題”的真假.若是真命題,給出必要的演算說明;若是假命題,試舉一個反例.

設計意圖:針對原考題的第(2)問設計了系列鋪墊式問題,讓難點得到逐一化解.

3.預設鋪墊,挑戰難題.

例3 在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=x2+bx-2-b(b>0)經過定點D.

(1)直接寫出點D的坐標.

(2)將該拋物線平移,平移后的拋物線經過(1,-1),點D的對應點D為(1-m,2b-1).m為常數,且m

①寫出平移后拋物線的頂點坐標(用只含b的式子表示);

②求b的取值范圍;

③小藝同學經過演算發現,平移后拋物線的頂點所能達到的最高點能落在直線y=-1上.請判斷“小藝發現”是否正確,并說明理由.

設計意圖:開始先“反向”設問,讓學生發現定點D的坐標是(1,-1),再對比平移后的D1的坐標特點,寫出平移后的拋物線的解析式,再將(1,-1)代入可求出m與b之間的相反數關系;最后一問,變換設問方式,讓學生參與“小藝發現”的檢驗與評價,與原考題的第(3)問本質上是一致的.

三、進一步的教學思考

1.向學生傳遞“消參”策略,破解“多參”函數綜合題.

很多學生不適應多參數的函數綜合題,因為參數太多,難以建立方程求出參數的值,從而思路受阻.從上文列舉的題例來看,并不是所有參數都能被確定出來,但是可以把多個參數運用題中的條件進行轉化、消參,使得多個參數最后消成一個參數(如上文考題的第(3)問的參數m、b)被消去m,使得平移后的拋物線只含有一個參數b,從而分析拋物線的頂點.特別值得一說的是,數學解題策略往往具有某種一致性,比如,二元一次方程組的求解關鍵是消元,一元二次方程的求解靠的是降次,跟學生講清這些解題思想,而將其遷移到“多參”函數綜合題時,也要注意積累“消參”的解題策略.

2.研發“一題一課”,預設鋪墊問題啟發學生自主攻克難點.

由于不少地區常常把含參函數綜合題作為全卷最后一道大題,用以承擔區分選拔的功能,所以這類試題難度往往較大,特別是最后一問與前面的設問之間拉開的距離較大.于是,在組織講評這類考題時就要認真準備,而不是簡單的貫通思路、做出答案就進行講評,可以像上文這樣研發“一題一課”,對較難的問題給出鋪墊式設問,鋪平墊穩,有效化解難點,引導學生在鋪墊問題的啟發引導之下,自主攻克難點、貫通思路,學習解題的過程中也收獲解題自信.想來,這也是積極回應有老師提出的“難點處,請勿一帶而過”吧.

1.魏愛鳳.一道“偽坐標系”考題的教學思考與命題商榷[J].中學數學(下),2017(11).

2.蘇紅虹.突破“含參函數題”:數形結合與扎實運算——2017年福建中考第25題解析與教學微設計[J].中學數學(下),2017(8).

3.劉東升.并列式問題與遞進式求解——由一則解題教學案例說起[J].中學數學教學參考(中),2012(8).

4.俞丁立.解題教學,在難點處請勿“一帶而過”——以“有且只有”存在性探究問題為例[J].中學數學(下),2017(9).W

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