對一道中考填空題解法的探究

李建標

一、原題呈現

如圖1，點A，B在反比例函數y=■（k>0）的圖像上，AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足C、D分別在x軸的正負半軸上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中點。且△BCE的面積是△ADE面積的2倍，則k的值是________________.

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二、解法探究

1.代數解法

解法1、設點A坐標為a，■，點B坐標為b，■，則|OC|=a，|OD|=-b，

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由CD=k.易知：a-b=k ①

∵E是AB中點，

∴S△ABC=2S△BCE S△ABD=2S△ABE

∵S△BCE=2S△ADE∴S△ABC=2S△ADE

∵AC⊥x軸，BD⊥x軸，

∴AC∥BD

∵S△ABD=■CD·BD S△ABC=■AC·CD

∴AC=2BD，即■=-■ ②

如圖2，過點B作AC延長線的垂線BF，F為垂足，則BF=CD=k，AF=■-■

∴AB2=AF2+BF2，即■2=k2+■-■2 ③

聯立①②③解得a=■b=-■ak=■或a=-■b=-■k=-■（舍去）

∴k的值為■。

思考：這種解法立足于試題本源，設點的坐標自然流暢；解答簡潔易懂，當屬自然解法；但最后方程的解法比較繁瑣，不得讓人思考，是否還有更好的解法？

解法2：設點A坐標為■，m，點B坐標為■，n

由CD=k.易知：■-■=k，即n-m=mn ①

由S△BCE=2S△ADE，E是AB中點，

易知AC=2BD，即m=-2n ②

聯立①②，解得m=3n=-■，即AC=3，BD=■

如圖，在Rt△ABF中，AB=2AC，AF=3+■=■，

BF2=AB2-AF2=36-■=■；

∵BF>0，∴BF=■，即k=■。

思考：解法2與解法1的思路是一樣的，區別在于設元方式不同。解法1是常用的設元方式，解法2是通過特殊的設元方式簡化方程，減少計算量，與解法1相比較，有一定的優勢。

3.幾何方法

解法3：由S△BCE=2S△ADE，E是AB中點，

知S△ABC=2S△ABD；

由AC⊥x軸，BD⊥x軸，知AC∥BD

∴AC=2BD

根據反比例函數的結合意義知：

OC×AC=OD×BD=k，則OD=2OC，

∵OC+OD=k，∴OC=■k，OD=■k，

∴AC=3，BD=■

如圖2，構造Rt△ABF，易知，BF=■=■

∴k的值為■。

思考：解法3巧妙的利用反比例函數的幾何意義，從而得到線段之間的的倍數關系，簡化計算量。

解法四：由S△BCE=2S△ADE，E是AB中點，

知S△ABC=2S△ABD；

由AC⊥x軸，BD⊥x軸，知AC∥BD

∴AC=2BD

如下圖，易知△ACG∽△BDG

∴DG=■GC，即DG=■DC=k，BG=■AB

類似解法3；知AC=3，BD=■，

∴AB=2AC=6，

∴BG=■AB=2，

在Rt△BDG中，知DG=■=■.

∴k=CD=■

三、解法反思

上述四種解法，大同小異，或許都可以稱為“自然解法”。不管是在爭分奪秒的考試，還是平時以研究學習為目的的解題。我們都期望一道題的解法簡潔明了。作為教師不能滿足于“教師知其所以然”，更要注意解題方法的優化，追求“學生知其所以然”，立足學生的最近發展區；立足學生上課聽得懂。解題時用得上，這樣才接地氣，稱得上是自然解法?！?br>