例談在數學課堂教學中落實核心素養
——以“定積分在幾何中的應用”為例

☉甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍

新課標修訂組認為：數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力.高中階段數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.在數學課堂教學中，落實學生數學核心素養的培養，是每位教師都必須面對的問題.筆者以“定積分在幾何中的應用”的教學為依托，談一下如何在課堂教學中落實核心素養.

一、教學設計意圖

定積分在幾何中的應用是高中數學教材中的典型內容，涉及數學抽象、類比、數學運算、數形結合等重要的數學思想，是培養學生數學核心素養的好契機.

（一）教材分析和學情分析

定積分在幾何中的應用出現在人教A版選修2-2教材第一章導數及其應用的第七節定積分的簡單應用.在前面幾節學生認識了導數與積分的概念、計算、幾何意義的基礎上，本節課學習的內容就是掌握用定積分計算圖形的面積.

（二）教學任務

本節課的核心教學任務是引導學生根據圖形抽象出利用定積分求平面圖形面積的幾種類型，再利用這些知識來解決相應的題目.

教學目標：（1）應用定積分解決平面圖形的面積問題.

（2）能夠初步掌握應用定積分解決實際問題的基本思想和方法，強化數形結合和化歸思想的思維意識.

（3）培養學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理素養，培養學生勇于探索和實踐的精神.

教學重點：應用定積分解決平面圖形的面積，使學生在解決問題的過程中體驗定積分的價值.

教學難點：如何恰當選擇積分變量和確定被積函數.

二、教學過程設計

（一）新課引入

問題1：（1）定積分的幾何意義是什么？（2）微積分基本定理的內容是什么？

（2）微積分基本定理：如果（f x）是區間［a，b］上的連續函數，且F（′x）=（fx），那么學生活動：依次提問兩名學生.

設計意圖：定積分的幾何意義和微積分基本定理是本節課學習的基礎.

（二）探究新知：利用定積分求平面圖形的面積

問題2：觀察下列幾種平面圖形，它們的面積和定積分有什么關系？由此，你能得到求平面圖形面積的一般方法嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

新知1：幾種典型的平面圖形的面積的計算.

（1）由一條曲線y=f（x）和直線x=a，x=b（a＜b）及y=0圍成的平面圖形的面積S.

（2）由兩條曲線y=f（x）與y=g（x），直線x=a，x=b（a＜b）圍成的平面圖形的面積S.

學生活動：先后提問5名學生.

設計意圖：引導學生從以上五個平面圖形中抽象出數學式子，從圖形與圖形的關系中抽象出數學公式，體現了數學抽象的核心素養.同時，五個圖形，對應求平面圖形面積的五種常見題型，屬于將數學問題建立模型，求解結論，以期最終解決更廣泛的問題，體現了數學建模的數學核心素養.

圖6

（三）典型例題

例1 計算由兩條拋物線y2=x和y=x2所圍成的圖形的面積.

解：略.

師生活動：教師講解并板書演示.

設計意圖：從上述題目所給的圖形可以看出，所求平面圖形的面積可以轉化為兩個曲邊梯形面積的差，體現了化歸與轉化思想.學好數學離不開解題，利用前面建立的模型，解決求平面圖形面積的具體問題，提升了學生的數學應用能力.在計算題目的過程中，培養了學生的數學運算能力，體現了數學運算的數學核心素養.

問題3：利用定積分求曲線所圍成平面圖形的面積的步驟有哪些？

新知2：（1）作出示意圖（弄清相對位置關系）；（2）求交點坐標（確定積分的上限和下限）；

（3）確定積分變量及被積函數；

（4）列式求解.

設計意圖：羅增儒說：“一旦獲解，就立即產生感情上的滿足，從而導致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機會，無異于入寶山而空返.”在數學例習題教學中，不能停留在解出題目上，解題后應該多反思，多總結解題方法和解題步驟.以上例1教學之后，對這類題目適時地進行了解題步驟的總結，以期達到“解一題，通一類，會一片”的教學效果.

解：略.

師生活動：教師講解

問題4：本題還有其他解法嗎？如果有，請寫出你的解法，并比較一下這些解法.

師生活動：教師講思路，叫兩位學生上黑板板書演示解答過程.

思路一：將所求平面圖形的面積看成一個曲邊梯形與一個三角形的面積之差.

圖7

設計意圖：本例運用了三種解法，拓寬了學生的數學視野，體現出了一題多解的數學思想.特別是解法二中類比以x為積分變量的定積分的幾何意義，運用了以y為積分變量的定積分的幾何意義解題，體現出了類比推理的思想，體現出了邏輯推理的數學核心素養.

（四）課堂練習

練習 求下列曲線所圍成的圖形的面積：

（1）y=x2，y=2x+3；（2）y=ex，y=e，x=0.

學生活動：兩位同學分別板書演示練習（1）、（2）.

設計意圖：通過做練習，便于學生掌握利用定積分求曲線所圍成平面圖形的面積的步驟，訓練規范化解題，發現學生學習中存在計算結果錯誤的問題.

（五）課堂小結

本節課我們主要學習了什么？

學生活動：先個別學生做小結，然后師生一起總結.

本節課主要學習了：

（1）求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟；

（2）思想方法：數形結合和化歸與轉化的思想.

（六）布置作業（略）

三、教學反思

（1）本例教學中，關注了學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養.本節課的教學立足于核心素養理念指引下，思考如何以知識教學、方法教學為載體，為培養學生的核心素養添磚加瓦.

（2）數學家希爾伯特說：“數學問題是數學的靈魂.”本例教學中設計了多個問題，有利于在課堂教學中激發學生的問題意識，體現出問題驅動教學的原則，同時也注重了數學知識的發生發展過程.

（3）通過課堂練習，發現了學生的數學運算能力欠缺.暴露出部分學生在平時的學習中養成連基本的加減法都用計算器算，而運用計算器代替筆算，不利于學生對算理的理解.這造成了在考試答卷中反映出的問題之一是考生運算能力差，是最頭疼的事，有的同學想的很好，但運算過不了關，一道長題一開始就錯，而自己沒有自查能力，一直錯到底，多么可怕呀.高考閱卷規則要求從錯誤解答考試以后的分值不能超過對應分數的一半，而出錯的原因往往很簡單，就是諸如一個負號的問題，太可惜.筆者認為數學運算能力的培養不僅僅是高三復習的事，應該貫穿于高中數學教學的始終.在高中數學定積分的教學中，要著力以定積分在幾何中的應用為載體，培養學生的運算求解能力.

（4）在例2的教學中，打破了畫地為牢，運用了三種不同的解法解答.本例教學中，重視了多解思維的訓練，引導學生從多角度分析問題，探究多解的過程，溝通了知識之間的聯系，形成了廣闊的審題視角，既能從縱向上追溯教材知識體系的認知與梳理，也能在橫向上加強知識之間的聯系，著力培養了學生思維的靈活性.

參考文獻：

1.人民教育出版社，課程教材研究所中學數學課程教材研發中心.普通高中課程標準實驗教科書（A版）：數學2-2（選修）（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.羅增儒.數學解題學引論［M］.陜西：陜西師范大學出版社，2006.F