數(shù)學(xué)教學(xué)要直擊本質(zhì)

☉江蘇省徐州第一中學(xué) 杜 芬

在一線教學(xué)多年，漸漸認(rèn)識到數(shù)學(xué)教學(xué)是個循序漸進(jìn)的過程，而對于學(xué)生的學(xué)習(xí)更是如此.數(shù)學(xué)教學(xué)是一項直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)的探索歷程，對于學(xué)生而言需要三個步驟的過渡：第一，了解概念、掌握大概，進(jìn)而去嘗試解決問題；第二，反思問題、再思知識的核心算法掌握到位；第三，重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，思考數(shù)學(xué)教學(xué)為什么要強調(diào)回歸本質(zhì)、回歸教材.只有這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才能提高學(xué)生的素養(yǎng).

史寧中、王尚志等教授根據(jù)課程改革制定數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教學(xué)更從以往強調(diào)情感態(tài)度價值觀向更高的層面進(jìn)發(fā).筆者可以這樣理解，將來的數(shù)學(xué)教學(xué)不再是比技巧和技能，而是比概念下的數(shù)學(xué)知識核心掌握與否，也就是說更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題教學(xué)需要直擊本質(zhì)、直擊數(shù)學(xué)核心知識，這樣的教學(xué)才是注重素養(yǎng)的教學(xué)，與學(xué)科核心素養(yǎng)緊密相關(guān).本文從兩個方面進(jìn)行闡述和分析.

一、回歸幾何意義的思考

數(shù)學(xué)概念往往具備雙重性，即代數(shù)屬性和幾何屬性.筆者以為，代數(shù)屬性是其全面性的展示，幾何屬性是其直觀性的最佳表象.不難發(fā)現(xiàn)，中學(xué)數(shù)學(xué)更佳的問題解決手段是幾何屬性，因為其較容易貼近中學(xué)生認(rèn)知心理及其思維發(fā)展，而代數(shù)屬性更多的是在高等數(shù)學(xué)問題解決中使用頻繁，高維度的數(shù)學(xué)問題在幾何直觀上是比較難以解決的.

分析1：本題是2014年重慶卷理科16題，是單變量恒成立問題，從難度上來說并不難，學(xué)生容易解決.令y=利用函數(shù)圖像可得時，|2x-1|+|x+2|有最小值但是學(xué)生解決問題的方式大都是分類討論，可以這么說，用分類討論解決這樣的問題并沒有直擊數(shù)學(xué)的本質(zhì).筆者認(rèn)為，這樣的解答方法是因為我們長期向?qū)W生灌輸分類討論思想造成的，這是模式化的，這種解法的好處是思維簡單，壞處是對于多個絕對值的討論將陷入困境.比如近年來熱門的自主招生、三位一體等，各高校自主命題中出現(xiàn)的多個絕對值若從分類討論的角度切入，則費時費力.不妨看一個當(dāng)年的北約自主招生問題：求y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值.難道分11段進(jìn)行分類討論？顯然是不切實際的，這說明問題1和北約自主招生考題其背后的知識本質(zhì)和數(shù)學(xué)核心并未被挖掘出來，因此直擊本質(zhì)才是我們需要的教學(xué).

本質(zhì)：那我們得重新回到絕對值最初的概念思考，絕對值到底有什么樣的幾何本質(zhì)呢？筆者發(fā)現(xiàn)包括教師在內(nèi)，很少有人去思考概念的本質(zhì)，學(xué)生看到絕對值的第一反應(yīng)——去絕對值，分類討論！這是典型的概念學(xué)習(xí)不扎實的表象，誰說絕對值必須要分類討論去切入？讓我們回歸絕對值“初心”，思考下絕對值的幾何意義——|a-b|或|b-a|表示數(shù)軸上表示a的點和表示b的點的距離.求|x-2|的最小值幾何意義清晰明了吧？求|x-2|+|x-1|的最小值呢？也很顯而易見吧！因此我們思考，不難獲得經(jīng)典的引理.

引理：（1）偶數(shù)個零點：y=|x-a|+|x-b|的最小值（a≤b），當(dāng)且僅當(dāng)x∈［a，b］時取到；

y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an（|n為偶數(shù)且的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

（2）奇數(shù)個零點：y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值（a≤b≤c），當(dāng)且僅當(dāng)x=b時取到；

y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an（|n為奇數(shù)且a1≤a2≤…≤an）的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=an+1時等號成立.

從引理的角度，我們獲得了問題1的第二種直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)的解法.

我們進(jìn)一步思考北約自主招生問題，很容易發(fā)現(xiàn)，直擊絕對值本質(zhì)的解法才是知識的核心.

有興趣的讀者進(jìn)一步思考兩道浙江高考真題，問題的處理恰恰是絕對值幾何意義的思考.

鏈接1：t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在［0，3］上的最大值為2，則t=________.

簡析1：2008年浙江填空15題，從絕對值本質(zhì)的角度思考，令m=x2-2x，由x∈［0，3］可知-1≤m≤3，問題轉(zhuǎn)換為：當(dāng)m∈［-1，3］時，|m-t|的最大值為2，根據(jù)絕對值幾何意義可知，t=1.

簡析2：2017年浙江填空壓軸題，從絕對值本質(zhì)的角度思考，令，由x∈［1，4］可知，4≤m≤5，問題轉(zhuǎn)換為：當(dāng)m∈［4，5］時，|m-a|+a的最大值為5，根據(jù)絕對值幾何意義可知

二、回歸概念的再認(rèn)知

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，也是近年來高考命題最想考查的學(xué)生知識能力水平的重點區(qū)域.考查概念的考題往往清晰明了，但學(xué)生卻讀不懂題意.原因是我們在教學(xué)中不太重視數(shù)學(xué)概念，而花費了大量的時間在做重復(fù)的解題，而這些試題大同小異，做1000個和做500個差別大嗎？有一點差別，那就是可能以前解這個問題需要10分鐘，現(xiàn)在因為熟練減少了1分鐘，只需要9分鐘，但是有意義嗎？這是哈佛大學(xué)終身教授華裔數(shù)學(xué)家丘成桐先生提出來的.筆者以為，我們的教學(xué)更應(yīng)該去找到一些好的問題，直擊數(shù)學(xué)概念，舍棄一些重復(fù)的操作，才是對學(xué)生數(shù)學(xué)心靈最大的提升.

案例：數(shù)列問題的函數(shù)及其性質(zhì)概念的本質(zhì)思考.

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列問題的解決離不開函數(shù)知識的運用，并且函數(shù)中相關(guān)的概念在數(shù)列問題中的運用也是隱含于其中的，這一點大多數(shù)學(xué)生并沒有準(zhǔn)確理解到位，這造成了學(xué)生在問題的解決過程中沒有尋找到知識本質(zhì)的方向，沒有思考與函數(shù)及其相關(guān)的性質(zhì)概念的使用，造成了效率低下、數(shù)學(xué)素養(yǎng)難以提升.我們首先來看看最重要的等差數(shù)列及其函數(shù)模型本質(zhì).

表1 等差數(shù)列通項公式和函數(shù)對應(yīng)關(guān)系

表2 等差數(shù)列求和公式和函數(shù)對應(yīng)關(guān)系

問題2：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap=q，aq=p，求ap+q的值.

法1：因為ap=q，aq=p，所以a1+（n-1）d=p，a1+（p-1）d=q，解得a1=p+q-1，d=-1.所以ap+q=0.

說明：法1的基本量是等差數(shù)列角度進(jìn)行的思考，是一種基本量的運算；法2是一次函數(shù)概念的深層次認(rèn)識，考慮到{an}是等差數(shù)列，那么（n，an）是共線點，即（p，q），（q，p），（p+q，ap+q）三點是共線的，然后就可以利用斜率相等來求，顯然有種與眾不同的感覺，同時也肯定法2的本質(zhì)是一次函數(shù)的深層理解.

總之，從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，在解題教學(xué)中能真正直擊本質(zhì)的教學(xué)是少之又少.筆者認(rèn)為主要是兩方面因素的構(gòu)成：第一，教師自身受教學(xué)與解題方向誤區(qū)的問題，現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)的今天就是教師的昨天，沒有高觀點、高素養(yǎng)，不可能引導(dǎo)學(xué)生直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)，談何關(guān)注核心？第二，要挖掘本質(zhì)不是一朝一夕的，教師自身少不了對數(shù)學(xué)問題的深層次研究，只有這樣才能引導(dǎo)學(xué)生走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高層次、高素養(yǎng).本文從兩個方面作了淺顯的分析，不足之處請讀者引玉指導(dǎo).

參考文獻(xiàn)：

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