立足學生，有序推進
—— 高中數學習題課教學的幾點思考

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 羅 燕

新的課程標準將發展學生的學科核心素養作為教學目標，如何提升學生的數學核心素養呢？筆者認為學生素養的提升應該與解決具體的數學問題相聯系，習題課教學應該是重要的抓手，通過有效的習題課教學拓寬學生解題方法的視角，同時提升學生數學思維的品質，通常情況下高中數學教師在習題課教學中都能應運用經典習題的解決、變式與拓展幫助學生鞏固所學知識、掌握并靈活運用各類數學思想與方法，而效率的高低則取決于我們的教學是否做到“心中有學生”、”手中有方法”.本文結合具體的教學案例，筆者就該話題談幾點看法.

一、師生對話：啟發學生在思辨形成“共鳴”

習題課教學不是簡單的學生做、教師講，也應該注重師生對話，師生對話的過程，就是學情檢測、方法指引、思想滲透的過程，下面以具體的實例來說明.

教學片段1：設置問題：判斷真假命題：

（1）若x=1，則x2=1；

（2）若a＞2，b＜3，則a＞b；

（3）若sinα≠sinβ，則α≠β.

生1：命題1是真命題，命題2是假命題，命題3，我不太能判斷.

生2：舉例來判斷.

生3：舉反例可以證明它是假命題，但如果它是真命題怎么辦？

師：看來大家對命題3的判斷有難處，你們可能聯想其逆否命題來進行判斷呢？你們還記得四種命題形式及其關系是怎樣的嗎？教師在學生一定思考之后投影圖1中的關系圖.

圖1

生4：命題3的逆否命題：若α=β，則sinα=sinβ.因為這一逆否命題為真命題，所以我們即可推斷出命題3也為真命題.

師：四種命題形式及其關系和利用互為逆否命題同真假的判斷方法在命題3的判斷中都得到了運用，一般來說，這一方法適用于哪些情況呢？

生5：對命題的真假比較難以直接判斷時，以“不等式”形式呈現的命題.

師：很好，大家來看一下命題4：若tanα≠tanβ，則α≠β.

生6：它是真命題.

師：它的逆否命題是怎樣的？

生6：逆否命題：若α=β，則tanα=tanβ.

生7：當α=β=90°時，tanα、tanβ的值不存在，由此可見命題4是假命題.

師：很好，研究函數問題時一定要注意從定義域開始研究才對.

從上述的教學片段來看，教師的教學設計選擇一組從易到難的練習，教學目的相當明確，通過師生對話讓教學的時效性得到了有力的提升，學生在教師的引導下進行辨析、質疑并因此產生認知上的共鳴，學生對知識的鞏固以及數學方法的掌握也因此更加到位.

二、分層設計：著眼于全體學生的發展

學生是教學的主體，這里的學生不是個體，而應該是班級上所有的學生，那么我們的教學如何設計？目標如何確定呢？我們都知道，課堂教學的“雙邊”活動都是圍繞課堂教學的目標這一教學的主線而進行的，而學生間存在著較大的差異，尤其是到了高三，由于時間跨度較大學生的差異就更大，數學復習階段的習題課教學如何設置教學目標呢？筆者認為，無論是高一、高二，還是高三復習階段，數學教師都必須立足于學生的具體學情，同時也應該充分研究考試說明、課程標準與教材并準確把握好習題課教學的方向，綜合考慮多方面的因素確立多元化的目的和要求以促進全體學生的發展.

教師首先根據學生數學學習的綜合表現將學生分成A、B、C三個層次，制定本課教學目標時也根據不同層次水平的學生一一確立.比如，A類學生理解能力較強，則要求他們在理解這一公式的基礎上掌握錯位相減法求和、倒序求和等技能技巧；B類學生理解能力中等且基礎較好，則要求他們在掌握教材中公式的推導過程之外了解另外兩種推導公式的方法；C類學生是數學學習中能力較低的學生，則要求他們了解并記憶教材中對這一公式的推導過程.同時，教師還可以精心準備一些基礎訓練題以促進學生對這一公式的應用、鞏固與掌握.

練習1：（A類題）求和1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+4+…+2n-1）.

練習2：（B類題）已知數列{an}的前n項和為Sn=2n-1，求a12+a22+…+an2的值.

練習3：（C類題）求和：3+32+33+…+3n.

多元化的目標與分類練習使各個層次的學生都有新的收獲，聽不懂、吃不飽的現象也因此得以杜絕.

三、學而常思：引導學生個體數學思維向縱深發展

我們的教學要面向全體學生，筆者從另外一個層面上可以理解為我們的教學要促進每一個學生在其原有基礎上得到最大化的發展與提升，對于習題課教學而言，引導學生及時的反思能夠促進學生的思維變得更為縝密、靈活.

例題 若實數x，y滿足x2+y2=1，則的最小值為______.

分析與解答：二元代數最值問題經過已知條件的三角換元以后轉化成了單角三角函數的最值問題，問題再經過三角恒等變形等手段最終轉化成了簡單的三角函數最值問題.由題意可設x2+y2=1，x=cosθ，y=sinθ，其中θ∈［0，2π］，則

將條件進行三角換元的多元不等式求最值的一類問題中可以說是一種通法，大多數學生遇到此類問題時都會聯想到這種解法并成功解題，不過，將解題行為僅僅止步于問題答案的獲得只是解題教學中最為初級的目標，后續豐富而有意義的解題反饋才會更具學習與研究的價值，我們可以引導學生從如下兩個方面思考.

宏觀范圍的思考：解法正確與否？是否對條件與結論作過一定的討論？

回頭對上述分析與解題全過程進行仔細的研讀，我們可以發現這一分析與求解的過程都是正確的，而且，如果三角換元后分式無法進行約分仍可以將其進行進一步的代換，令t=sinθ+cosθ并借助函數知識使問題最終得解，三角換元在此類問題解決中的通用性也因此再一次得到展現.

關注具體解題環節：題目的特點是否凸顯？問題的深層結構是否能夠探觸？

我們再次對上述解題過程進行仔細的審視可以發現：設x=cosθ，y=sinθ后因此，我們可以直接對進行變形并使得三角換元這一思維定式得到突破.事實上，已知條件中的x2+y2與表達式中的x+y，xy存在著簡單的完全平方公式：（x+y）2=x2+y2+2xy=1+2xy，從而即簡化為：若實數x，y滿足x2+y2=1，且x+y-1≠0，求x+y+1的取值范圍.問題得以簡化的同時也令目標表達式更加簡單而平凡，題目所隱含的本質特點也因此得到了很好的體現，問題的深層結構也因此被有力探觸，解題者在這樣的簡化過程中也會因此信心倍增，思維火花得到發散的同時解題也因此變得更加多樣.

高中數學習題課教學應通過數學問題的思考與探索來拓寬學生的方法視角、提升學生的思維品質，如果將中學數學中的概念比作“源”，那么中學數學中的習題就應該是“本”一樣的存在，為此筆者撰寫本文旨在拋磚引玉，希望更多的同行能夠關注習題課教學的策略與方法.J