條件概率解題“五法”

☉南京大學附屬中學 陳建紅

在很多的實際問題中，都存在條件概率的問題.要求條件概率，必須先了解條件概率的定義與相關的計算公式，將問題轉化為條件概率問題，分清誰是條件，誰是結論，掌握對應的性質，然后根據實際問題，結合相關的方法來求解條件概率問題.本文通過總結歸納，就求解簡單條件概率問題的五種基本解題方法加以實例分析.

一、定義法

根據條件概率的定義，也就是條件概率的計算公式，先求P（A）（P（A）>0）和P（AB），再由定義P（B|A）=，即可求解P（B|A）.

例1 把一枚硬幣連續拋兩次，記“第一次出現正面”為事件A，“第二次出現反面”為事件B，則P（B|A）等于（ ）.

分析：先分別利用古典概型計算P（A）與P（AB）的值，再利用條件概率的定義來計算相應概率P（B|A）的值.

點評：要解決條件概率問題，要具體分清事件A、B及其條件的構成，要理清相關的定義與對應的計算公式，結合對應的概率的計算公式加以分析與處理.解決條件概率問題時，關鍵是抓住條件概率的定義，把問題加以轉化再分析與處理.

二、古典概型的基本事件法

當基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n（A），再在事件A發生的條件下求事件B包含的基本事件數n（AB），得P（B|A）其是條件概率的定義在古典概型條件下的特殊模型.

例2 如圖1，△ABC和△DEF是同一圓的內接正三角形，且BC∥EF.將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用M表示事件“豆子落在△ABC內”，N表示事件“豆子落在△DEF內”，則P（N|M）=（ ）.

圖1

圖2

分析：通過作出相應的輔助線，把條件轉化為全等小三角形個數問題，利用條件概率的基本事件法來分析與處理.

解：如圖2作三條輔助線，根據已知條件得這些小三角形都全等，△ABC包含9個小三角形，滿足事件MN的有6個小三角形，所以P（N|M）=

點評：題目涉及三角形的區域問題，通過輔助線的引入，轉化為全等小三角形個數問題，把區域問題轉化為計數問題，利用基本事件數來解決相應的條件概率問題，方法巧妙.

三、幾何概型的幾何度量法

當幾何度量適合有限性和等可能性時，可借助幾何概型概率公式，先求區域A的幾何度量（長度、面積、體積等）μ（A），再在區域A發生的條件下求區域B的幾何度量μ（AB），得P（B|A）其是條件概率的定義在幾何概型條件下的特殊模型.

例3 如圖3，正方形EFGH內接于圓心為O的單位圓，將一顆豆子隨機地扔到該圓內（假設都可以扔到圓內），用事件A表示“豆子落在正方形EFGH內”，事件B表示“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內”，試求P（B|A）.

分析：結合題目條件加以分析，分別確定圓、正方形、扇形OHE、直角三角形OEH的面積，進而確定μ（A）與μ（AB）的值，利用幾何概型的幾何度量法來求解P（B|A）.

圖3

點評：通過幾何概型的幾何度量法來求解條件概率，關鍵是結合題目條件，根據幾何度量分別確定μ（A）與μ（AB）的值，進而就可以簡單快捷來處理此類涉及幾何概型的條件概率問題.

四、縮減樣本空間法

在事件A發生的前提之下，進而確定事件B的縮減樣本空間ΩA=Ω∩A，并在ΩA中計算事件B發生的概率，從而得到條件概率P（B|A）.其是條件概率與實際操作過程中產生的有效的等價轉化方式.

例4 甲、乙兩人從1，2，3，…，10中各任取一數（不重復），已知甲取到的數是5的倍數，則甲數大于乙數的概率為________.

分析：利用條件概率的定義求解比較復雜，而直接結合題目條件，只考慮滿足甲取到的數是5的倍數的對應的基本事件問題，達到縮減樣本空間來分析與處理.

解：由于已知甲取到的數是5的倍數，通過縮減樣本空間法，那么所有的取數的基本事件是：（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（10，1），（10，2），（10，3），（10，4），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共有18種，而滿足甲數大于乙數的有13種，所以所求的概率為

點評：在解決一些條件概率P（B|A）時，可把A看作新的基本事件空間來計算B發生的概率，也就是說把B發生的樣本空間縮小為A所包含的基本事件.這樣通過縮減樣本空間法，直接利用列舉法羅列對應的事件來求解條件概率顯得更為簡單快捷.

五、性質法

由條件概率和對立事件的定義，可得條件概率的性質：P（B|A）=1-P（B|A），利用該性質可以解決一些相關的條件概率問題.其是針對一些復雜的條件概率的求解而采用的逆向思維所產生的特殊模型.

例5 某保險公司經過大量的數據預測，男性活到60歲的概率為0.78，而活到70歲的概率為0.26，那么現年60歲的男性活不到70歲的概率為________.

分析：根據題目條件，分別確定對應的概率，利用條件概率先來解決現年60歲的男性能活到70歲的概率，再利用性質法來處理.

解：記T為男性的壽命數，由題知P（T≥60）=0.78，P（T≥70）=0.26，那么P（T≥70|T≥60，所以P（T<70|T≥60）=1-P（T≥70|T≥

點評：解決本題時，直接求解有點沒有頭緒，由于“現年60歲的男性活不到70歲”無法直接來解決，而通過條件概率的性質法，從對立面去分析，即利用對立事件的概率來轉化，巧妙有效.

條件概率的求解與應用已經成為近幾年新課標高考的新熱點之一，而且有難度不斷加深的趨勢.同時條件概率的題目背景與設置方式不斷改變，題目也由選擇題、填空題逐步變化在解答題中與相關知識加以綜合、交互呈現，顯得越來越重要.而通過以上條件概率解題“五法”，可以有效掌握條件概率的實質，抓住類型，利用最有效可行的方法來解決問題，實現解題目標.

參考文獻：

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