摭談解題教學中思維引導的重要性

☉江蘇省無錫市堰橋高級中學 郭桂霞

眾所周知，數學解題是一項復雜的全面性工作.從高一開始，我們不難發現懂而不會對于學生而言漸漸成為一種普遍現象，從而引發了教師們普遍的教學思考.筆者發現一個有趣的教學現象：不少教師在教高一學生的時候，往往將題型教學演繹得非常深刻，讓學生通過熟練操作各種類型的題型以便獲得一定的數學理解.

這種方式不能說完全無效，在短時間內有一定的效果，但隨著知識廣度的鋪開和深度的加深，這種題型教學往往讓學生深陷學習的困境.讓其對于數學學習的興趣也不斷降低，違背了課程標準的教學理念.從懂而不會開始，到知識的理解，到底怎么處理才能獲得思維的發展？筆者結合自身的教學實踐和思考，與大家交流.

一、抽象與具體的引導

高中數學一直是以感性認知為基礎的抽象知識深化，但是對于不少學生的學習而言，如何從知識的感性認知達到理性的思考，是我們教學需要關注的.從大量教育學研究資料中顯示：學生對于知識往往處于最為基本的感性認知狀態，概念的理性深化不通過問題的思考是無法感受到的，在教學中合理地設計具體問題和抽象問題的交替，有助于提高學生利用數學概念解決抽象問題的思維能力.

例1（1）函數f（x）的定義域為（1，2），求函數f（x+2）的定義域.

（2）函數f（x+1）的定義域為（-∞，1］∪［2，+∞），求函數f（x-1）的定義域.

（3）函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則函數y=f（x）的圖像關于________對稱.

（4）函數y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b，則函數y=f（x）的圖像關于________對稱.

思考：這是筆者在抽象函數一節中給出的四個小問題.從學生已經學習的基礎知識來看，學生理解函數的定義域及函數的對稱性，但這些知識都是基于具體函數模型中存在，即學生需要依賴函數的具體解析式.如何在抽象的函數中引導學生理解函數定義域與函數對稱性？

分析：對于問題（1）、（2），教師給出了基礎知識的再回顧：第一，何為定義域？定義域指的是函數關系中自變量的取值范圍，因此問題解決過程中始終要理解，定義域指的是自變量x，如函數f（x+2）的定義域所求的是“x”的范圍，而不是“x+2”的范圍；其次，在解決問題過程中，不難發現整體思想的運用呈現出的重要性，因為對于法則“f”來說，我們勢必要關注其針對的整體，即法則“f”下兩個整體部分的范圍的一致性，如“函數f（x+1）”和“函數f（x-1）”中，“x+1”和“x-1”的取值范圍是一致的.

對比：上述分析是從函數的抽象角度實施的，對于學生而言，如何將這種抽象落實到每個學生的頭腦中呢？顯然對于高一學生而言，是有些困難的.因此，我們需要加強思維直覺化的引導，即具象化.筆者開發了問題（1）和問題（2）的具體特征形態，如下表：

函數 具體感知 抽象再現f（x+1）的定義域為（-∞，1］∪［2，+∞）即 f（x+1）中 的x滿足 x≤1或x≥2 f（x）的定義域為（-∞，2］∪［3，+∞）■令f（x+1）=（x-1）（x-2）即 f（x）中 的 x滿 足 x≤2或x≥3 f（x-1）的定義域為（-∞，3］∪［4，+∞）類比■則f（x）=（x-2）（x-3）即 f（x-1）中 的x滿足 x≤3或x≥4數學思想 解決抽象函數時，關注整體思想的運用，這里自變量的范圍是一樣的■則f（x-1）=（x-3）（x-4）

問題（3）和問題（4），見下表：

2對稱f（a+x）+f（a-x）=2b令f（x）=x驗證點（a，b）對稱函數性質 具體感知 抽象再現f（a+x）=f（b-x）令f（x）=x2驗證直線x=a+b 類比

意圖：解題教學最核心的是要體現數學的本質，面向學生最重要的是要以生為本的設計.筆者以為教學要堅持這樣的初衷，才能獲得最大的教學效率.問題（1）和（2）這樣的抽象函數，對于學生而言，初學者未必一定要鉆研抽象過程的轉變，更能從直覺思維的視角進行函數模型的具象化，這樣對于學生解決問題和進一步理解后續抽象函數定義域有了更好的鋪墊；問題（3）和（4）是函數對稱性抽象表述，同樣通過建立具體的函數模型，我們可以發現函數具象化之后，學生對于抽象表述的認知達到了理解的地步，進而通過具體加深抽象問題理解.

二、幾何與代數的引導

數學強調的是代數和幾何的雙重學習，對中學數學來說，哪一個方面更為側重呢？筆者從以往大量研究資料數據認為，代數在基本面的運算上要求更多一些，而在壓軸小題的解決方向上，幾何味道側重會更多一些，因此對于學生思維的引導要注重雙管齊下，有的放矢.筆者以具備代數和幾何雙重特性的向量小題舉例說明.

例2 （1）設e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e，e的夾角為最大值等于________.12

（2）設向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=-1，〈a-c，b-c〉2=60°，則|c|的最大值等于________.

分析：從問題給出的形態來看，學生的直覺思維是怎么樣的呢？對于問題（1），筆者作過統計研究，大量學生的直覺思維是代數化，即選擇代數特性作為入手方向，這也是正確的第一選擇；作為對比的問題（2），學生顯得有些手足無措，因為該問題代數化的方式顯得有些困難了.對比代數解答，繼續分析.

問題（2）代數解法：可以從〈a-c，b-c〉=60°及數量積出發，利用不等關系及均值不等式求|c|的最值.由題意［1-（a+b）·c+|c|2］，結合上述兩式得a·b-（a+b）·c+［1-（a+b）·c+|c|2］，化簡，得|c|≤2+（a+b）·c≤2+|a+b·||c|=2+|c|，得|c|2-|c|-2≤0?|c|≤2，即最大模長為2.

思考：通過對比我們不難發現，這樣的求解對于絕大多數學生來說，都是比較困難的.問題（1）如果能在函數視角下尚能形成降元，學生還能基本解決，問題（2）則顯得代數化非常困難，那么教師必須引導學生思考核心問題：中學數學在小題的考查上，更多側重的是什么角度？顯然是幾何化的方向.可以這么說，平面幾何在高中數學中的影響力往往潛伏在知識中，讓學生體會這種思維轉變的過程，加強解題思維的引導，這才是例題教學的關鍵.問題（1）幾何解法：不妨設x≠0，由b=xe1+ye2，x，y∈，結合平行四邊形法則（如圖1）的最大值為2.

圖1

圖2

問題（2）幾何解法：向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c的夾角是60°，以四點共圓來建構圖形.如圖2，設∠ACB=60°，可知點C的軌跡是優弧上一動點，顯然當C為優弧A的中點時|取到最大值，即為O，A，B，C四點所在圓的直徑.易得|—，在△ABC中，由正弦定理得

意圖：通過幾何角度和代數角度問題解決的對比，引導學生解題思維的重要方向，如果在思維上缺乏思考，那么必須在運算上花費較大的代價；反之，若能考慮幾何屬性，則代數運算就會降低，從而獲得思維的開發.總之，解題教學要引導學生思考、思維的變化，筆者認為文中兩個大方向是不可改變的.數學本身就是代數和幾何的選擇、具體到抽象的深化，因此我們多做一番教學思維的啟發、多嘗試一些思維開發的引導，對于學生思考問題、解決問題可以帶來更為普遍的方向性，從而讓學生理解思考的重要性.至少對中學數學來說，筆者認為幾何味道對于解決問題來說顯得更為突出一些，這也是初等數學的特性之一.最后，思維引導還需要做好以下方面：比如，更為廣泛的知識結論的積累，開拓眼界、關注結論對于問題的解決是顯而易見的，有了多方面的積累自然能打開更為寬廣的思路，解題思維的形成也是自然而然的事.

參考文獻：

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