一次同課異構(gòu)的經(jīng)歷
——以冪函數(shù)為例

☉上海市仙霞高級中學(xué) 鄭海萍

近期參與了一次《冪函數(shù)》同課異構(gòu)活動，筆者全程參與了本次備課、磨課和研討活動，對冪函數(shù)教學(xué)有了新的認(rèn)識，也產(chǎn)生了新的困惑.就具體的教學(xué)設(shè)計(jì)而言，情境引入構(gòu)建概念、尋找研究方法、冪函數(shù)性質(zhì)探究幾個節(jié)點(diǎn)是不容忽視的，或者說，處理好這幾個節(jié)點(diǎn)（片斷）的教學(xué)，將成為本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵.通過分析教材意圖，把握學(xué)情，思考育人價值，嘗試給出本課教學(xué)設(shè)計(jì)路線圖.基于此，選擇上述幾個重要環(huán)節(jié)，回顧同課異構(gòu)的課堂教學(xué)過程（片斷），分析對比，對教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施進(jìn)行反思.通過同行的指點(diǎn)、磨課，筆者對教材知識的理解有了更多的認(rèn)識，將這些記錄下來與讀者分享.

一、如何設(shè)計(jì)情境——情境引入，建構(gòu)概念

（一）W老師的引入

師：數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于生活.接下來，我們一起來看下生活中的一些實(shí)例.

（1）回收舊報紙每公斤1元，某班每年賣舊報紙x公斤，所得價錢y是關(guān)于x的函數(shù)；

（2）正方形的邊長為x，面積為y，這里的y是關(guān)于x的函數(shù)；

（3）正方體的邊長為x，正方體的體積為y，這里的y是關(guān)于x的函數(shù)；

（4）一個正方形場地的面積為x，這個正方形的邊長為y，這里的y是關(guān)于x的函數(shù)；

（5）某人x秒內(nèi)騎車行駛了1千米，他騎車的平均速度為y，這里的y是關(guān)于x的函數(shù).

師：我們發(fā)現(xiàn)這樣的函數(shù)在生活中大量存在，所以很有研究的必要性.

問題1：以上這些函數(shù)你熟悉嗎？它們是指數(shù)函數(shù)嗎？

生1：有些熟悉，不是指數(shù)函數(shù).

問題2：這些函數(shù)結(jié)構(gòu)上有什么共同特征？

生2：指數(shù)都是常數(shù)，底數(shù)都是變量.

問題3：這些函數(shù)的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)是什么？

生3：都是xα的形式.

（二）L老師的引入

Q1：對數(shù)是怎么定義的？

生1：ab=N?logaN=b.

Q2：上述恒等式中，涉及了三個量：a，b，N，如果以其中的一個量為常量，另外兩個量分別為自變量x和應(yīng)變量y，你可以得到哪些式子？

生2：（1）xb=y，yb=x；

（2）xy=N，yx=N；

（3）ax=y，ay=x.

師：觀察上述3組式子，（3）式是我們已經(jīng)學(xué)過的指對數(shù)函數(shù)，（1）式呢？

Q3：你學(xué)過類似的函數(shù)嗎？你能再舉一些嗎？它們有什么共同特征？

生3：y=x，y=x2，y=x-1.

（教師引導(dǎo)補(bǔ)充：y=，y=x3，以下同W老師的處理）

創(chuàng)設(shè)問題情境的目的是為了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)活動的核心價值是為了思考.兩位老師分別從現(xiàn)實(shí)生活情境和數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題，引入冪函數(shù)的概念，兩位老師的引入各有特色.現(xiàn)實(shí)生活情境與數(shù)學(xué)內(nèi)部情境，二者都是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)，自然地，也都是創(chuàng)設(shè)問題情境的來源.從課堂效果來看，W老師從學(xué)生相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問題情境，自然、親切地引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，這樣引入注意知識的系統(tǒng)與聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的作用，從而明確“研究什么”和“怎樣研究”，學(xué)習(xí)的自覺性得到提高.W老師本意是想從代數(shù)式ab=N出發(fā)，三個量：a，b，N，如果以其中的一個量為常量，另外兩個量分別為自變量x和因變量y，分別得到不同的函數(shù)，數(shù)學(xué)內(nèi)部辨析，進(jìn)而得到本節(jié)課想研究的問題，但是老師設(shè)置問題的指向不明確，比如說，學(xué)生對問題1就頗為困惑，一開始就陷入了僵局，受前面指、對數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)的深刻印象，學(xué)生比較容易往對數(shù)函數(shù)方向回答，在教師的引導(dǎo)下，好不容易回答了對數(shù)式的定義.這樣的引入學(xué)生對于“要學(xué)什么”“為什么要學(xué)”“如何學(xué)”等的感知都不充分，要學(xué)的內(nèi)容與已有經(jīng)驗(yàn)的銜接不夠自然.

數(shù)學(xué)問題的提出并不容易，而問題又最好由學(xué)生提出，就更加困難了.創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境是課堂教學(xué)的重要一環(huán)，也是一個難題.數(shù)學(xué)問題情境類型多種多樣，比如，“以舊引新”情境，“數(shù)學(xué)問題”情境，“實(shí)際生活”情境，“趣聞史話”情境等.問題情境的目的是讓學(xué)生通過情境發(fā)現(xiàn)和提出問題，筆者認(rèn)為情境要直觀明了，簡單易懂，源于生活，貼近學(xué)生，利于揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).本節(jié)課的情境引入筆者認(rèn)為W老師的處理方式更勝一籌.

二、如何研究問題——研究過程問題的設(shè)置

（一）W老師

Q1：遇到一類新函數(shù)，接下來我們要研究？（稍作停頓）

生1：性質(zhì).（板書）

生2：圖像.（板書）

Q2：結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，你覺得我們該按怎么樣來研究冪函數(shù)？

生：先作圖，再研究性質(zhì).

……

（二）L老師

師：新的函數(shù)概念搞清楚了，接下來我們要做點(diǎn)什么？

生：畫圖.

師：你是怎么想到的？

生：因?yàn)榍懊鎸W(xué)習(xí)指對數(shù)函數(shù)，也是這樣的.

師：怎么畫圖？

生：列表—描點(diǎn)—連線.

……

不同處理方式的比較思考.

章建躍博士說：“數(shù)學(xué)具有抽象性或一般性特點(diǎn)，這使得數(shù)學(xué)更注重研究問題的一般方法.”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷研究問題的一般過程，即形成問題，構(gòu)建概念，尋找方法，提出假設(shè)，驗(yàn)證猜想，語言表述的過程.這個教學(xué)環(huán)節(jié)筆者認(rèn)為是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的著力點(diǎn)，遇到新問題探究學(xué)習(xí)所需要的研究方法，遇到新問題怎么想具有方法層面的意義，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題，分析與解決問題，特別是“遇到新問題怎么想”，具有很好的數(shù)學(xué)育人的作用.顯然，此處兩位老師各有千秋.

三、如何探索性質(zhì)——學(xué)從無到有的探究

（一）W老師

師：實(shí)際上我們用到了“數(shù)形結(jié)合”的方法（.板書）但是實(shí)際生活中存在著大量的冪函數(shù)，是不是都要畫出來？

生：取特殊的研究.

師：很好，也就是“從特殊到一般”，具體取哪些特殊值？

生：取互為相反數(shù)的，互為倒數(shù)的.

師：取特殊的就要找有代表性的，為了方便點(diǎn)，可以取一些簡單點(diǎn)兒的，比如，a=1，a=-1；a=2，a=，為了有比較，我們不妨再取個a=3來研究.

師：取完這些特殊函數(shù)后，接下去我們做什么？

生：畫圖.

師：為了更高效地畫圖，我們在畫圖之前是不是要做一些準(zhǔn)備工作？

生：先求定義域.

師：出示例1：求下列函數(shù)的定義域，并分別指出它們的奇偶性（必修1P88例1）.

……

師：準(zhǔn)備工作做完，我們準(zhǔn)備開始畫圖，怎么畫？

生：列表—描點(diǎn)—連線.

師：是不是每一個都要這么畫？有沒有必要？

生：其中有熟悉的函數(shù)：y=x，y=x2，y=x-1可以直接畫，重點(diǎn)畫另外兩個函數(shù).

（投影學(xué)生做的圖，學(xué)生闡述畫圖過程）

師：在（0，1）內(nèi)的圖形，你們分得清誰在上面誰在下面嗎？怎么說明？

生：取（0，1）內(nèi)的特殊值比較.

師：很好，圖形只是一個粗略的直觀，要嚴(yán)格說明的話還是得靠“數(shù)”來證明.

（二）L老師

師：怎么取？取的時候有什么困難？

生：對α取特殊值.

師：取哪些？（教師引導(dǎo)學(xué)生回答）

師：怎么樣來畫這幾個有代表性的函數(shù)圖像呢？（思考一下）這5個里面有我們比較熟悉的函數(shù)呢？

生：α=1，2，-1.（學(xué)生在同一坐標(biāo)系中畫圖像，教師投影并追問學(xué)生畫圖過程）

師：另外兩個怎么畫呢？在畫之前，我們需不需要來研究一下它有什么性質(zhì)？我們需要做點(diǎn)什么？

生：定義域、奇偶性、單調(diào)性.

師：知道了這些性質(zhì)后，能不能大概估計(jì)一下圖像的分布？

生：在（0，+∞）上單調(diào)遞增，應(yīng)該是一個曲線，增的幅度要小一點(diǎn).

師：我們了解了圖像的大致分布，再動手畫的話，是不是要得心應(yīng)手好多.

（學(xué)生分組分別畫圖）

探索問題是思考的源泉、探究的載體，解決問題是思考的動力.數(shù)學(xué)教學(xué)過程，應(yīng)當(dāng)以啟發(fā)式教學(xué)思想為指導(dǎo)的問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)的過程，設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)教學(xué)顯得尤其重要.設(shè)置問題應(yīng)該立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，促進(jìn)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，深化其數(shù)學(xué)思考.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)、對數(shù)等具體的函數(shù)，對建立數(shù)學(xué)對象的一般過程與方法即研究過程也有一定的經(jīng)驗(yàn).冪函數(shù)是第三個具體函數(shù)，教學(xué)設(shè)計(jì)時我們立足于數(shù)學(xué)知識發(fā)展的邏輯線索，為學(xué)生構(gòu)建“前后一致，邏輯連貫”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.這里W老師設(shè)計(jì)更為巧妙一些.筆者設(shè)想啟發(fā)學(xué)生提出問題、探索性質(zhì)，尋找研究策略.得到冪函數(shù)概念后，提出問題1：接下來要干什么呢？問題2：面對一個陌生函數(shù)，對它了解多少，要做什么呢？研究它的性質(zhì)；問題3：怎么研究呢？借鑒以前研究經(jīng)驗(yàn)，可能要通過研究它的圖像來研究性質(zhì)；問題4：怎么研究圖像呢？……

研究上述三方面的對比，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)若能始終堅(jiān)持探究教學(xué)，教學(xué)生學(xué)“提出”問題，學(xué)“建構(gòu)”概念，學(xué)“尋找”思路，學(xué)“研究”問題的一般方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從不知到知，不懂到懂，不會到會，不明白到明白的過程，學(xué)生用自己的“所有”去探索“所無”，通過學(xué)知識來學(xué)思考，學(xué)創(chuàng)新，學(xué)創(chuàng)造，我們的課堂教學(xué)才是超越數(shù)學(xué)知識技能，完成立德樹人的根本任務(wù).

參考文獻(xiàn)：

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2.周湖平，李陽華.從指數(shù)函數(shù)設(shè)計(jì)看數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2014（11）.

3.王珂.從一個教材問題思考課堂教學(xué)的深度［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015（9）.J