數(shù)學公式課教學的三個“秘訣”
——以“余弦的兩角差公式”為例

☉江蘇省江陰市第二中學 張志剛

數(shù)學公式是揭示和反映數(shù)學概念本質(zhì)屬性及屬性間的聯(lián)系的一種重要形式，其產(chǎn)生、發(fā)展的過程蘊藏著極其豐富的數(shù)學思想方法，這些數(shù)學思想方法對于學生的數(shù)學思維的形成與提升具有重要價值.因此，如何開展好公式課教學是廣大一線教師不得不面對的問題.最近，縣里舉行了教壇新秀課堂教學評比，上課的主題是“余弦的兩角差公式”，筆者觀摩了8位老師的教學過程，發(fā)現(xiàn)存在著不少的問題.下面筆者就結(jié)合課例，談談數(shù)學公式課教學的注意事項.

秘訣一、情境創(chuàng)設(shè)應簡潔明了

教學情境就是以直觀方式再現(xiàn)書本知識所表征的實際事物或者實際事物的相關(guān)背景，顯然，教學情境解決的是學生認識過程中的形象與抽象、實際與理論、感性與理性、舊知與新知的關(guān)系和矛盾，科學合理的情境有助于激發(fā)學生的學習動機，明確學習任務，降低數(shù)學理解的門檻.

教材情境：某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上，如圖1所示，小山高BC約為30米，在地平面上有一點A測得A、C兩點間距離約為67米，從點A觀測電視發(fā)射塔的視角約為45度.求這座電視發(fā)射塔的高度.

圖1

更一般地說，當α，β是任意角時，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α+β或α+β的三角函數(shù)值表示出來呢？

點評：通過實際問題引發(fā)對三角函數(shù)求值問題的思考，進而為兩角差的余弦公式的引入做好思維鋪墊.本情境中的問題貼近學生實際，容易入手，唯一遺憾的是本問題指向的是“tan（45°+α）”而不是“cos（α-β）”，開門見山的效果不理想.

很多教師不滿意教材提供的情境，開始另辟蹊徑.

情境1：點Q繞點P在半徑為1的圓P上運動的同時，點P又繞點O在另一個半徑也為1的圓O上運動.O為定點，P、Q兩點的初始位置如圖2所示，其中OP⊥QP，且P、Q兩點以相同的角速度逆時針方向運動，這時點Q的運動如何刻畫.

圖2

點評：本問題情境雖然比較新穎，但內(nèi)部運動關(guān)系比較復雜，不僅需要花費比較多的時間進行梳理，而且超出了很多學生的理解水平，僅僅為了得到 “cos（α-45°）”如此大費周章，顯然是得不償失.

其實，把教材中的情境改進一下，就可以獲得“開門見山”的效果.

某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.小山高BC約為30米，在地平面上有一點A，測得A、C兩點間距離約為60米，從A觀測電視發(fā)射塔的視角（∠CAD）約為45°，∠CAB=15°.求這座電視發(fā)射塔的高度.

CD=BD-BC，BD=ABtan60°.

AB=60cos15°，BC=60sin15°.

于是問題歸結(jié)為求cos15°與sin15°的值，自然引出對公式cos（α-β）的思考.

情境的創(chuàng)設(shè)不求多么新穎，而是要力求簡潔明了.即教學情境的創(chuàng)設(shè)要立足教學目標，提出問題的難易程度要適合全班同學的實際水平，以保證使大多數(shù)學生在課堂上都處于思維狀態(tài).這樣的問題才會成為感知的思維的對象，從而在學生心里造成一種懸而未決但又必須解決的求知狀態(tài)，實際上也就是使學生產(chǎn)生問題意識.

秘訣二、公式猜想應適可而止

在公式課教學中，不能直接把公式拋給學生，而是要立足認知規(guī)律，讓學生經(jīng)歷公式的發(fā)現(xiàn)與猜想的過程，從而實現(xiàn)對知識的自主構(gòu)建.

教學片斷：余弦的兩角差公式的猜想.

問題1：如何求cos15°？cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30°成立嗎？

顯然，猜想不成立，引導學生繼續(xù)猜想：

cos15°=cos45°+cos30°？

cos15°=sin45°-sin30°？

cos15°=sin45°+sin30°？

發(fā)現(xiàn)都不成立.

問題2：以前有沒有學過類似的公式？

誘導公式與cos（α-β）比較接近，cos（π-β）=-cosβ，，類比猜想，cos（α-β）展開應該與cosα，cosβ，sinα，sinβ都有關(guān)系.

問題3：借助下面表格，完成對cos（α-β）展開式的猜想.

α β α-β cosα cosβ sinα sinβ cos（α-β）120° 30° 90° -11■3 2■3 222 60° 30° 30° 11■3■3■3 22222

根據(jù)cos（120°-30°）=cos90°=0，發(fā)現(xiàn)cos（α-β）具有以下幾種可能組合：

cos（α-β）=cosα+sinβ+cosβ-sinα；

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；

點評：類比誘導公式，初步猜想公式可能的結(jié)構(gòu)；通過特殊值的驗證，縮小猜想的范圍，最終獲得令人滿意的結(jié)果，上述設(shè)計的優(yōu)點是呈現(xiàn)了一個比較完整的猜想過程.cos（α-β）的公式并不容易猜想，教學實踐表明多數(shù)學生只能停留在“cos（α-β）=cosα-cosβ”的層次，根本不可能把cos（α-β）與cosα，cosβ，sinα，sinβ的線性組合聯(lián)系起來.雖然，上述設(shè)計中提供了一定的思維鋪墊，但教師“強制牽引”的跡象明顯.不僅如此，耗費了過多的時間在公式的猜想上，從而影響教學的正常進行.

眾所周知，猜想不是最終的目的，而是初步獲得公式的一種手段，公式的正確與否還要經(jīng)過嚴格的論證.因此，公式的猜想要適可而止，切勿超出學生的實際水平，偏離教學的目標.

秘訣三、公式的證明應揭示本質(zhì)

公式的推導與證明是公式課的核心.經(jīng)歷證明的過程不僅可以揭示公式的來龍去脈，更為重要的是可以通過這一過程滲透數(shù)學思想方法，拓展學生的數(shù)學思維.在證明公式中，往往有多種方法可供選擇，那么具體采用什么方法呢？還是方法越多越好，這些問題值得深思.

在本課中，教材提供了兩種方法.

幾何法：引導學生構(gòu)造如圖3中的直角三角形，圖中的圓為單位圓，并用割、補的方法得到OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.

點評：此法構(gòu)造巧妙，學生很難想到，并且用此法得到的是銳角形式的兩角差的余弦公式，推廣到任意角比較麻煩.

圖3

向量法：觀察公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的結(jié)構(gòu)要素，分析其與哪個公式比較相似.

聯(lián)想到α，β終邊與單位圓的交點分別為A（cosα，sinα），B （cosβ，sinβ），同時發(fā)現(xiàn)cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右邊與向量數(shù)量積公式的坐標表示a·b=x1x2+y1y2相近，進而聯(lián)想到O—→A·O—→B=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.于是建立直角坐標系，借助單位圓，利用向量數(shù)量積推導余弦的兩角差公式自然水到渠成.

點評：體現(xiàn)了向量的工具作用，學生容易想到，但向量沖淡了三角函數(shù)原本的味道，并且還需要推廣到任意角.

在8位老師的教學中，多數(shù)老師拋棄了煩瑣的“幾何法”，直接采用快捷的“向量法”.還有一位老師“利用兩點間距離公式”來獲得公式的證明.具體過程如下：

如圖4所示，在直角坐標系內(nèi)作單位圓與角α，β，終邊分別與單位圓交于點P、Q，則|PQ|2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.若要得到cos（α-β）的表達式，必須在單位圓中找到與弦PQ等長的弦.以角α的終邊OP旋轉(zhuǎn)-β到OQ1處，則射線OQ1即為角α-β的終邊，且∠POQ=∠P1OQ1，故△POQ △P1OQ1，所以有|PQ|=|P1Q1|.因為|P1Q1|2=［1-cos（α-β）］2+sin2（α-β）=2-2cos（α-β），所以有（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2=2-2cos（α-β），即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖4

點評：此法對任意角都適用，但方法比較巧妙，學生想不到.

這就引發(fā)了一個思考，在cos（α-β）公式的推導中，究竟采用哪種方法？教材提供了兩種方法，是否都有必要采用？或者另辟蹊徑，尋找其他更加巧妙的方法？其實，采用什么方法，幾種方法并不是思考的重點，我們應該關(guān)注哪種方法更能夠體現(xiàn)公式的本質(zhì)屬性.那么cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的本質(zhì)是什么？我們知道，三角函數(shù)又稱為“圓函數(shù)”，很多三角函數(shù)公式都是圓性質(zhì)的體現(xiàn).比如，誘導公式，它就是圓對稱性的三角表示，作為比誘導公式更具一般化的cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，也是圓對稱性的體現(xiàn).因此，回歸到三角函數(shù)的定義，借助單位圓的對稱性，才是cos（α-β）公式證明的正確方向.

如圖5所示，P1，P2分別是α，β終邊與單位圓的交點.所以α-β的終邊與β的終邊關(guān)稱，借助對稱性，作出α-β，它的終邊與單位圓交于P3.設(shè)單位圓與x軸的交點為P0，則P0（1，0），P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos（α -β），sin（α -β））.接 下去，利用圓的對稱性，構(gòu)造四個點之間的等量關(guān)系.容易發(fā)現(xiàn)，代入坐標即可獲得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖5

點評：上述方法巧妙地把教材中的幾何法與向量法融合在一起，而且體現(xiàn)了公式的本質(zhì)屬性.

公式的證明方法不求多，也不求巧，而是要從公式的本質(zhì)屬性出發(fā)，借助合理的數(shù)學模型，采用適度的方法技巧，構(gòu)建易于學生理解的證明過程.

盡管公式課教學一般遵循“公式的發(fā)現(xiàn)——公式的猜想——公式的證明——公式的應用”的設(shè)計思路，但要關(guān)注每個環(huán)節(jié)的細節(jié)處理，要凸顯數(shù)學的本質(zhì).F