三版本高中數學教材“統計”習題難度比較研究

☉首都師范大學數學科學學院 覃 淋

近年來，中小學數學教材的比較研究已成為一個研究熱點.數學教材是由正文、例題、習題三部分有機組成的，習題的設置在一定程度上反映了教材的特征.因此，對數學教材習題的研究是教材研究的一個重要方面.就目前教材研究情況來看，大都集中在代數、幾何、三角、向量和微積分等方面，很少有研究者涉及“統計”部分的比較研究.少數一些文獻，也主要是集中在“概率”部分的比較研究，或是將“統計”與“概率”放在一起進行比較研究.此外，也有部分學者對初中數學教材的“統計”內容進行了比較研究，但很少有學者對高中數學教材中的“統計”內容進行比較研究.

現代社會是一個信息化的社會，大多數信息都以量化的形式傳播，統計學正是收集和分析帶隨機性誤差的數據的科學.隨著新課程改革的持續深入進行，統計的教學也越來越受到重視.《義務教育數學課程標準（2011年版）》將發展學生的“數據分析觀念”作為數學課程的重要目的之一.在《普通高級中學數學課程標準（實驗）》進一步提出了發展學生的“數據處理”的基本能力，再到如今數學課程標準修訂，高中數學課程標準修訂組的專家提出了“六大數學核心素養”：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，這里的“數據分析”能力顯然是針對“統計”內容的.基于此，本研究選擇了高中數學教材中“統計”內容作為研究主題.同時考慮到東亞地區都深受儒家文化的影響，和我國在許多方面都有共同之處.在一定程度上，他們的數學教育改革經驗能給我國的數學教育改革提供更多的參考.選擇了中國大陸、日本、中國臺灣地區現行的高中數學教材，通過構造統計習題難度測量模型，對這三個地區的三套高中數學教材“統計”部分習題的難度進行比較，希望能為我國高中數學教材統計部分習題的設置、編寫的完善提供一些建議.

一、研究對象及研究工具

（一）教材樣本

由于在許多國家教材的出版是一種商業行為，對于學校選擇教材，也缺乏國家層面上的指導.考慮教材的使用范圍及教材是否能體現所在地區課程標準的理念，再結合教材的出版時間，最后確定了表1中所列的數學教材.

表1 教材樣本及基本信息

研究中，統計的習題包括：教材中正文的練習，每一節結束后的習題，每一章的章末復習題，中國臺灣教材中的練習包括課堂討論、隨堂練習、課堂活動三類.1個題目如果有多個小題，按題目中小題個數計算；一個題目有連續幾個問，但這些問題沒有分成（1）、（2）、（3）……這樣的，仍當作一個題目計算.如中國大陸教材必修3P74的練習.考慮到中國臺灣、日本數學教材都將正態分布放在統計內容中的，而中國大陸教材中則是放在選修部分的概率內容中的，因此這里統計的習題數目也包括了正態分布內容中的習題.

（二）統計習題難度測量模型

在參考已有研究的基礎上，并結合“標準”中對統計內容的要求、統計習題的特征以及所研究教材的編排特點，構建了一個六因素多水平的統計習題難度測量模型，如表2：

表2 統計習題難度測量模型

賦值：比如一道題在“背景”難度影響因素是“公共常識”水平、在“運算”難度影響因素處于“簡單運算”水平，“認知要求”難度影響因素屬于“遷移性理解”水平，并且是探索性題，與例題無關，包含2個知識點.則在以上六個習題難度影響因素中分別賦值：3，2，3，3，3，2.

計算：根據上述等級制，分因素統計樣本教材中各水平的題目數量，并采用如下計算公式計算各習題難度因素的加權平均值：

其中，i表示第i個習題難度影響因素，j表示某一個難度影響因素所處的水平；Ai表示第i個習題難度影響因素的加權平均值；Bij表示第i個習題難度影響因素在第j個水平上的權重，我們依水平分別取1，2，3，…，即Bij=j.如B32表示“習題認知要求”中“概念性理解”水平的權重B32=2.nij表示所選教材習題中屬于第i個習題難度影響因素，在第j個水平上的題目的個數，n表示所選教材習題的總數.如n12表示第1個難度影響因素（習題背景）中處于第2水平（個人生活）的題目的個數.

二、統計結果與分析

（一）統計結果

依照表2給出的統計習題難度測量模型，統計各難度因素中處于各水平的習題的數量，得到如表3的結果.

表3 三套高中數學教材難度因素的比較

難度因素 水平中國大陸 日本 中國臺灣題量百分比題量百分比題量百分比關聯程度高度相關 4 3.17% 28 44.45% 18 15.52%一般相關 75 59.53% 21 33.33% 56 48.27%無關 47 37.30% 14 22.22% 42 36.21%知識綜合1個 6249.21% 2133.34% 54 46.55%2個 4535.71% 2133.33% 38 32.76%3個及以上 19 15.08% 21 33.33% 24 20.69%

（二）結果分析

這里先從每一個習題難度影響因素進行分析，然后再綜合的進行分析.

（1）在習題背景因素上的差異.

三套教材中不涉及實際背景的習題分別占17.46%、46.03%、26.73%，與個人生活有關的習題分別占16.67%、28.57%、32.76%，屬于“公共常識”的習題分別占49.20%、20.64%、38.79%，屬于“科學情境”的習題分別占16.67%、4.76%、1.72%.在背景因素上統計結果如圖1所示.

圖1 三套教材在習題背景因素上的比較

從圖1可以發現，在“無背景”水平上，日本數研版教材所占比例是最大的，幾乎一半都是這種題目，遠高于人教A版和臺灣南一版教材.在“個人生活”水平上，人教A版相對于原人教版變化不大，都不到17%，遠低于數研版教材和南一版教材所占比例.在“公共常識”水平上，人教A版差不多達到了一半，數研版則只有不到21%.在“科學情境”水平上，人教A版教材是最多的，達到了17%，遠遠高于數研版和南一版教材.整體來看，三套教材在習題背景的四個水平上都不是很均勻.

（2）在運算因素上的比較.

人教A版教材中不涉及運算、簡單運算、復雜運算的習題所占比例分別為63.49%、26.99%、9.52%；數研版教材中三種水平的習題所占比例分別為17.46%、41.27%、41.27%；南一版教材三類習題所占比例分別為18.10%、29.31%、52.59%.在運算因素上的統計結果如圖2所示.

圖2 三套教材在運算因素上的比較

從圖2可以看到三套教材在“運算”因素上的差異主要表現在“無運算”水平和“復雜運算”水平，在“簡單運算”水平上相差不大.人教A版統計部分的習題中無運算占比高達63%，而在屬于復雜運算的習題不到10%，這似乎與中國以“雙基”為特點的數學教育不符，但從“標準”中我們可以找到答案.在統計部分，“標準”強調的是對統計思想的理解.

而南一版教材恰好相反，無運算的習題不到20%，復雜運算的習題超過了50%.從圖中還可以看到一個有趣的“聚類”現象，在“無運算”水平，人教A版教材遠高于另外2種教材；而在“復雜運算”水平，卻又遠低于數研版和南一版教材.這不得不讓我們深思，在統計與概率的教學中，是否過多地把計算機作為一種計算工具，而忽略了其他更重要的功能，如計算機模擬試驗.雖然現代信息技術給我們的數學教學帶來了極大的便利，但以計算器和計算機為代表的現代信息技術只是作為一種教學的輔助手段.

（3）在認知要求上的差異.

三套教材中概念性記憶水平習題分別占0%、17.46%、9.48%，處于概念性理解水平的習題所占比例分別為55.56%、46.03%、55.17%，屬于遷移性理解水平的題目分別占34.92%、36.51%、33.62%，屬于綜合性探究水平的習題分別占9.52%、0%、1.73%.在認知要求因素上的統計結果如圖3所示.

圖3 在認知要求因素上的比較

在“認知要求”因素上，可以看到三套教材是比較一致的，習題最多的都是處于“概念性理解”水平，這一水平的習題強調對概念、公式、法則等的理解，而不僅僅是簡單的記憶.其次，在“遷移性理解”水平上，三套教材差異也不大.這說明了教材習題是要求能運用所學知識去解決一些相關的問題.這種一致性在某種程度上說明了國際數學教育改革的趨勢是大致相同的——強調數學的應用性，讓學生通過所學數學知識去解決實際問題.

就統計與概率而言，它們本身就具有較強的應用性，和實際生活聯系緊密.生活中，電視、報紙、網絡上經常提到平均數，天氣預報也會經常提到明天某地區降雨概率是多少，彩票中獎的概率等.因此，“統計與概率”的學習應與現實生活相聯系，學生才可能用概率或統計的觀點和思維去分析和解決實際問題.

（4）在習題類型上的不同.

在習題類型因素上的統計結果如圖4所示.

圖4 在習題類型因素上的比較

在“習題類型”因素上，同樣可以發現三套教材是比較一致的，都集中在訓練性題目上.數研版教材全都是訓練性題目，說明了在儒家文化影響下的東亞國家里，相對而言都強調對“雙基”的掌握，在某種程度上解釋了為什么亞洲學生總能在一些國際性測試（TIMSS、PISA）中拿高分.但這并不能說明我們學生問題解決的能力強于歐美國家，如相關研究表明：中國學生在計算題、常規問題和條件受限問題解決上遠高于美國學生，但在解決開放問題時卻弱于美國學生.

（5）在“與例題關聯程度”因素上的比較.

三套教材中與例題高度相關的習題分別占3.17%、44.45%、15.52%，與例題一般相關的習題所占比例分別為59.53%、33.33%、48.27%，與例題無關的習題分別占37.30%、22.22%、36.21%.在“與例題的關聯程度”難度因素上的統計結果如圖5所示.

圖5 在“與例題關聯程度”因素上的比較

從圖中可以看出，除數研版教材外，另外兩套教材的題目大都是和教材例題一般相關.三套高中數學教材中只有日本教材的加權平均值低于2.這其實和日本教材習題的編排方式有很大關系，日本數研版教材一般會在講解一個知識點后，給出一個例題，例題后會給出1～2個“練習”.這種練習一般都和例題有很高的相似度，甚至很多“練習”只是把例題的數據更改了一下.這種練習題學生直接用例題給出的方法就可以輕松的解決，幾乎沒有難度.

以數研版教材中的題目為例，在數學B中的P103有這樣一個練習：“一個袋中有白球3個，紅球2個.現從袋中同時取出兩個球，記其中白球個數為X，求X的期望值.”

而在此練習題之前，有類似的一個例題：“一個袋中有白球4個，黑球3個.現從袋中同時取出兩個球，記其中白球個數為X，求X的期望值.”

很顯然，練習題的解題思路和例題是完全一樣的，只有在求取出的白球個數不同時的概率，在數字上和例題不一樣.實際上，在臺灣南一版教材中，某些地方練習題的編寫也采取了這種方式.應注意的是，這樣的安排對具體知識點而言，有較強的針對性，有助于學生對知識的掌握.在“無關”水平上，人教A版和南一版教材所占比重相近.

（6）在知識綜合因素上的比較.

人教A版教材的126個習題中單個知識點的習題占49.21%，2個知識點的習題占35.71%，3個及以上知識點的習題占15.08%；數研版教材中單個知識點的習題占33.34%，2個知識點的習題占33.33%，3個及以上知識點的習題占33.33%；南一版教材中三種水平的習題所占比例分別為46.55%、32.76%、20.69%.在知識綜合因素上的統計結果如圖6所示.

圖6 在知識綜合因素上的比較

由圖可知，人教A版和臺灣南一版教材的習題都是隨著知識點數量的增加而減少，即都是一個知識點的習題數量最多，2個知識點的習題數量次之，3個及以上知識點的習題數量最少.從總體上來看，人教A版的知識綜合程度是最低的，日本數研版教材的知識綜合程度最高.實際上，這和日本高中數學教學的總目標的要求是一致的，在其“課程標準”中教學總目標第一條就明確指出：通過數學活動，加深對數學基本概念、原理和法則體系的理解.

（三）綜合難度的比較

前面，根據6個統計習題的難度影響因素對三套教材統計部分的習題分別進行了比較，為進一步考查三套教材統計部分習題的綜合難度水平，利用前面提到的加權平均值計算公式，計算了各難度因素的加權平均值.結果如表4.

表4 三套教材統計習題各難度影響因素的加權平均值

為了更加直觀，我們作出如圖7所示的雷達圖：

圖7 三套教材統計習題綜合難度的比較

這個六邊形圖直觀地反映出：在習題背景、關聯程度、習題類型和認知要求四個難度因素上，人教A版教材習題的難度都高于數研版教材和南一版教材；而在知識綜合因素上，數研版教材高于人教A版和南一版教材.分別從三套教材的加權平均值來看，教材在“習題背景”、“運算”和“關聯程度”三個因素上差別較大.此外，還可以發現，人教A版在6個難度因素上很不平衡，相差達到了1.19，數研版教材和南一版教材分別為0.46，0.60.相較而言，在6個難度因素上比較平衡.

人教A版在“習題背景”和“認知要求”兩個因素上要遠高于其他教材.尤其是在“背景”因素上，人教A版中大部分習題都是“公共常識”和“科學情境”兩種水平，離學生個人生活實際較遠.在“運算”因素上，人教A版教材是最低的.在“習題類型”因素上，最高的是人教A版，數研版和南一版教材相差不大.在“知識綜合”因素上，數研版教材最高，平均每題包含2個知識點，其次是南一版教材，人教A版的知識綜合程度最低.

三、結論

通過對人教A版、日本數研版和臺灣南一版三套高中數學教材中“統計”部分習題難度的比較研究，得出了以下結論：

（1）從習題背景上看，人教A版教材屬于公共常識背景的習題最多，相比原人教版教材，無背景的習題少了很多，但數學來源于現實，存在于現實，“公共常識”和“科學情境”背景都是學生平時較少接觸的，離學生的實際生活情境較遠，這類習題過多可能會讓學生覺得這些問題是為了強調所謂的數學應用而“編造”的題目，不利于培養學生的應有意識.因此，人教A版教材可以借鑒數研版和南一版教材，在習題中適當增加貼近學生個人生活背景的習題.

（2）在“運算”因素上，人教A版教材是最低的，這似乎和印象中的我國教材有些不相符合.這可能和“標準”中非常強調對統計概率思想的體會有關，但是強調對數學思想方法的體會并不意味著要降低對學生計算能力的要求，而應該在二者之間找到一個平衡點.

（3）在“認知要求”和“習題類型”因素上，三套教材比較一致，教材的習題最多的都是“概念性理解”水平，習題也大都是訓練性題目.這可能和東亞地區都深受儒家文化的影響有一定的關系.

（4）在“與例題的關聯程度”因素上，人教A版教材與例題高度相關的習題僅有3.17%，只有4道，遠低于數研版和南一版教材.從習題的知識綜合來看，人教A版教材大部分題目都僅含有1～2個知識點，含3個及以上的知識點的習題僅有15%.

四、啟示

1.習題的安排，應考慮各難度因素之間的平衡

研究表明，三套教材都沒有保持6個習題難度因素之間的平衡，知識綜合因素的加權均值相比其他5個因素要小很多，在“認知要求”上要求都比較高.在人教A版中，背景和運算兩個難度因素之間的加權均值相差達到了1.19.因此，任何一套教材中習題的選擇和編寫都應該與數學內容緊密結合，充分考慮其特殊性，同時注重各個難度因素之間的平衡.在習題的編寫和設置中，如何保持各個難度因素之間的平衡是一個值得深入研究的課題，而各個習題難度因素應該達到怎樣的一個平衡狀態，也是一個需要深入研究的課題.

2.習題的安排可以更具針對性

這一點日本數研版教材做得比較好，教材一般在講解一個知識點后，會馬上給出一個例題，對介紹的知識點進行運用，去解決問題.然后在例題后面一般是1～2個“練習”，對所學知識進行進一步的強化練習.反觀我國高中數學教材，一般是在一小節內容結束后，才設置練習題目，這樣做的話，針對性就不是那么強.日本數學教材的這種做法值得借鑒.

3.要注重數學知識之間的聯系

研究表明，在習題的知識綜合因素上，人教A版教材的加權均值是最低的，大部分題目都僅含1～2個知識點，含有3個及以上知識點的題目所占比例僅為15.08%.數研版教材含有3個及以上知識點的題目所占比例達到了33.33%，比A版教材的2倍還多.因此，可以借鑒日本教材，在教材中安排一些知識綜合程度較高的題目.這樣可以幫助學生對數學產生一個整體的認識，幫助學生形成“數學是一個不可分割的有機整體”的正確觀念.

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