高等數學視角下中學數學教學研究
——以人教版高中數學為例

☉遼寧省鞍山市第三中學 王 紅

一、中學數學教學存在的問題

（一）中學數學與高等數學內容方面的不對稱

在新一輪的課程改革中，有些大學高等數學的課程內容在中學數學中有所涉及，大大增加了中學數學教材內容.然而，兩者對相同內容的講授要求及深度都不相同，比如函數與導數，雖然高中數學中有函數及其性質相關的內容，但難度與廣度都達不到高等數學相應內容的教學要求，函數求導就是例子.這就使得中學與大學在數學教學方面的脫節，中學數學教育并沒有給學生的大學教育帶來明顯的便利.

（二）中學數學教學重技巧、輕基礎

受高考的硬性要求影響，廣大數學教師關注的是怎樣快速提高學生的成績，反而弱化了基礎性內容的講授.在教學過程中，教師往往會將時間和精力放在講解解題技巧和方法上.

（三）中學數學的高難度削減了學生的學習興趣

為了適應高考的難度，高中數學教師往往會將關注的重點放在難度較高或在考綱中比重較大的知識點上，課程講解會偏向這部分內容.這樣的教學方法對于數學基礎較好的學生來說沒有什么壓力，但基礎一般或較差的學生就會感到比較吃力，這部分同學可能花了更多的時間，但最終的學習效果還是不理想，使得他們產生了畏難、疲憊等消極情緒，久而久之，這些同學的自信心就會一點一點被磨滅，對數學的興趣越來越弱.

二、高等數學視角下的中學數學教學策略

（一）立足例題，滲透方法

在高等數學教學思想的影響下，高中數學教學的一大要點就是提升解題方法的層次性，因此教師在講解課本知識點時要利用好例題，在講解例題時適當地融入高等數學的思想方法，拓寬學生的思路，引導學生多途徑、多角度地解決問題.

案例1 設a，b∈R，滿足（a-1）3+2013（a-1）=-1，（b-1）3+2013（b-1）=1，求a+b的值.

解：設f（x）=x3+1997x.

因為f（x）為奇函數，所以f（a-1）=-1，f（b-1）=1.

所以f（a-1）=-f（b-1）=f（1-b）.

因為f（x）在R上單調增，所以a-1=1-b.

所以a+b=2．

分析：在講解過程中，教師引導學生觀察題干，提示學生除了直接計算還可以構造函數進行解決，最終將這個問題轉化為方程的根與函數的零點問題，實現高等數學思想方法在初等數學問題中的應用.在解決完這道題之后，教師還可以進行擴展，借助數形結合的思想方法，向學生講解高次方程根的個數與對應函數單調性之間的關系；除此之外，教師還可以引導學生利用高等數學中的微分方法、高等代數中的代數基本定理來進行證明.

（二）依托教材，挖掘習題

現階段，高考命題人不再一味強調學生的計算能力，考查的重點轉向了學生的數學思想方法，求“巧”.在這樣的背景下，高等數學的思維有時候能大大簡化學生的思維量與計算量，使得學生能夠又快又準地解決問題.當然，這并不是要求教師“超綱”，而是在學生的知識儲備、能力水平可接受的范圍之內進行拓展.因此，高中數學教師需要充分利用教材，輔導學生解決對思維要求比較高的習題，糾正學生“數學靠計算”的錯誤認知，引導學生養成多層面、多角度、全方位認識問題、解決問題的能力，提升學生的數學素養.

案例2 試證明：

分析：在解決這一例題時，只需要進行代數運算.教師在此基礎上可以進行知識點的延伸，結合函數的概念及性質組織教學活動.首先，教師可以引導學生繪制函數圖像，借助圖像解釋題干中表達式的含義；與此同時，教師可以換個角度，引導學生進行逆向思維：如果函數（fx）對于其定義域內任意那么函數（fx）的圖像具有怎樣的特征？）時函數的圖像又是什么樣子的？從知識點角度來剖析，教師的目的就是要引導學生探究函數的凹凸性.在具體教學過程中，教師要注意不能過于生硬，不需要強調“函數凹凸性”這一準確概念，而是引導學生自行總結.

（三）結合現實，優化教材

高中數學教學并不是對數學知識的簡單呈現，需要充分考慮具體的教學現狀與教學規律.從教師的層面來說，一切教學行為都要基于課程標準，在此基礎上可以結合學生的學習情況及個人經驗來對教材中的數學知識進行調整與優化，適當地融入高等數學的思想方法，使得學生的高觀點學習思維更為系統.

比如，導數（微分）原本是高等數學中數學分析的知識內容，現在多數版本的教材都將其列入中學數學的教學要求中，與傳統的中學數學知識點相比，顯然導數具備較強的抽象性.盡管如此，教師要引導學生準確地看待這一新增內容，借鑒導數內容的演變來開展數學教學活動，賦予其活力，挖掘生活中的導數模型.

三、數學方法例證

在求函數的極值、增減性等問題時，除了常規的圖像法，高中數學教師還可以適當地引申，向學生介紹導數的相關概念，讓學有余力的學生嘗試采用這種“非常規”解法來處理函數問題；在幾何問題中，向量能將圖形中的數量關系定量表示，進而將幾何問題轉化為代數問題.

（一）微分（求導）

案例3 描述出二次函數y=20x2+40x+20的對應性質.

在常規的函數性質教學過程中，繪制函數圖像是重要的內容.在完成這一教學內容的基礎上，教師可以向學生介紹導數的概念，引導學生掌握簡單函數的求導方法，進而解決函數的單調性、極值等問題.

在案例3中，常規的解法如表1所示.除此之外，老師可以在向學生介紹導數相關知識的基礎上進行如下求解：

y′=40x+40=0.

解得x=-1.

所以x=-1為對稱軸.當x=-1時，ymin=0.

表1

當x≤-1時，y′≤0，所以函數在（-∞，-1）上單調減；

當x＞-1時，y′＞0，所以函數在（-1，+∞）上單調增.

（二）向量

向量的思想方法在幾何內容中應用得比較多，需要從題干信息中的相關幾何條件出發，準確地選取基本向量，尋找數量關系，列出向量關系式，隨后通過向量運算得出新的向量關系式，最終解決幾何問題.

案例4 證明已知三點A、B、C共線.

思路1：存在唯一實數μ（μ≠0），滿足A—→B=μA—→C?A—→B=μA—→C?A、B、C共線.

思路2：O為直線AB外一點，存在實數λ、μ且λ+μ=1，滿足O—→C=λO—→A+μO—→B?C在直線AB上?A、B、C共線.

思路3：O為直線AB外一點，存在實數λ、μ、γ、（不全為0）且λ+μ+γ=0，滿足λO—→A+μO—→B+γO—→C=0?C在直線AB上?A、B、C共線.

參考文獻：

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3.任勇.介紹高等數學內容 開闊學生知識視野［J］.數學通報，1995（3）.

4.張秀蓉.高等數學視角下的中學數學教學研究［D］.福州：福建師范大學研究生院，2014.F