高中數學復習教學的幾點建議

☉江蘇省常熟市梅李高級中學 馬俊華

高中數學復習的質量如何提升？筆者認為我們要通過高三復習提升學生的綜合應用數學知識解決問題的能力，其中問題轉化的能力最為關鍵，能夠直接影響解決數學問題的效果與質量，數學問題在一步步的轉化中歸結為熟悉而簡單的問題意味著問題的解決，因此，我們的復習課教學要有意識地教給學生如何進行問題的轉化，下面就該話題談幾點筆者的思考.

一、回歸定義，捋清問題含義

很多數學題目中都會包含“焦點”、“準線”、“漸近線”等專業術語，因此，回歸定義并理解專業術語成為解決這部分題目最為重要的首要任務.因此，教師在數學復習教學中應幫助學生對這些隱藏于專業術語背后的緊密關聯進行梳理，學生只有在弄清問題的條件下才能繼續沿著正確的思維方向進行解題.

例1 一股水流注入一正圓錐形容器時的速率為v，該容器底面水平且頂點向下，已知其底面半徑與錐高分別為a和b，則水深為y時，水面上升的速率應該是多少呢？

此題的審題環節首先應弄清楚水面上升的速率與水流入容器的速率這兩個關鍵的概念，回歸定義則很快能理解水面上升的速率即為水的深度增加的速率，簡單說來也就是水深的變化率.那么，什么又是變化率呢？再次回歸定義可知，導數為一個函數的變化率，梳理至此我們便可以將水面上升的速率用數學符號表示為理，水流入容器時的速率也可以表示為.此時再結合題中其他的條件，題意的理解也就不難了.

關鍵概念的梳理與理解在有些題目中起的作用還要直接，有的甚至能夠直接得出答案.

二、變更問題，深化理解規律

波利亞主張解題中應不斷變換問題直至最后尋得有用的東西.因此，教師在復習教學中應不斷引導學生將陌生問題轉化成自己所熟悉或易于理解的問題.

例2 求證：對任意n≥6都會存在一個能夠剪成n個全等三角形的凸六邊形.

這一問題如果換成下面這種說法就會更加簡單：n個全等三角形能拼成一個凸六邊形嗎？為什么？

例3 證明存在無窮多個素數.

“無窮”這一概念對于剛剛接觸的學生來說是較為抽象且不易理解的，因此，此題可以變化為：證明不存在最后一個素數P.這兩種等價的敘述往往能令有經驗的學生很快聯想到反證法.

這道“證明題”甚至還可以變換成“求解題”來解決：給定了素數2，3，5，…，P，跟這些給定的素數都不同的新素數N還存在嗎？

由此看來，題目所要表達的意思從不同的角度進行變更也會產生不同的解題方法.

事實上，此題的變化如果本著更加迎合“數學思維”的原則進行改變，還能這樣呈現：

例4 任意六人中肯定有三人互不認識或者相互認識的說法成立嗎？請證明.

如果將題中的六人用六個點來表示，此題即可變為：應該如何證明6個點的圖中必然會有3個點互不相連或兩兩相連？

例5 甲、乙、丙三人手中都有標記著不超過100的撲克，同一個人手上的撲克所標記的自然數各不相同，如果從甲、乙手上任意抽取一張撲克所得的數字之和與丙手中任意撲克上的數字都不相同，那么，三人手中一共最多有多少張撲克呢？

此題的敘述更換成集合語言也就更加清楚了：設集合{1，2，3，…，100}的三個子集為A、B、C，若?a∈A，b∈B，均有a+b?C，則|A|+|B|+|C|的最大值是多少？如此變更使得題中的文字干擾大大減少，解答時的書寫也會更加簡便而清晰.

三、習題歸納，類化思想方法

教師在復習教學時還應該幫助學生學會將題目歸納成類，學生一旦能夠總結某類問題的方法與規律，以此為契機建構單元知識體系也就不難了.一般來說，歸類時可以從形式不同但具相似之處的習題或者類型不同但本質可以整合的習題著手進行歸納.

例6 題組：

（2）設{an}是首項為1的正項數列，且（n+1）·an+1an=0（n=1，2，3，…），它的通項公式為______；

（3）已知數列{an}滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）·an-（1n≥2），則{an}的通項an=______.

學生在觀察、分析和比較中很快發現了它們雖然在形式上各有不同，但其實質相同.教師如果能在這一方面對學生進行系統訓練，學生在長期的訓練與積累中必然會不斷提升自己的知識遷移能力.

習題的本質規律得到歸納的同時，學生的抽象概括能力也在習題的不斷開發與整合中得到了很好的培養.

四、適度開放，增強思維與能力

綜合性開放題在高三數學的復習教學中也是必不可少的，學生在問題的積極探索中往往能夠培養自己靈活解題的綜合能力.

例8 如圖1，已知A（0，2）、B（1，0）、C（-1，0）是平面直角坐標系xOy中的三個點，你能構造出一些函數關系式并使

其圖像經過A、B、C這三個點嗎？或者你覺得可有曲線方程的曲線能夠經過這三個點？

練習：

1.運用二次函數、指數函數等已學函數的知識構造常見函數如下：

圖1

2.運用曲線方程知識構造常見曲線方程如下：

學生在無窮的解答中不斷發揮想象力，常見的函數與曲線方程也在學生不斷的交流與探索中得到了全面的復習.

五、強調規范，避免反復出錯

解決“會”和“對”之間的矛盾是永遠值得數學教師與學生關注的，但仍有不少學生在“會”和“對”之間難以統一，很多學生在會做的題上還是會出現算錯、看錯、抄錯等錯誤，這些錯誤應該如何避免呢？教師在日常教學中應對學生的錯誤進行關注并及時幫助學生矯正，以下這些改正錯誤時的思想是教師應該著重灌輸的：

（1）考試時應做到操作規范、計算錯誤并保持精力集中.精力集中這一優秀的品質是學生解答數學習題時最為重要的，學生應該在平日的練習中注重養成.

（2）出現錯誤時不應逃避，應仔細排查原因并及時做好錯題的記載.

（3）解題快要結束時應避免由于粗心而導致出現錯誤.比如：①不能將函數y=1的單調區間（-∞，0），（0，∞）x寫成（-∞，0）∪（0，+∞），或“x＜0或x＞0”，或{x|x＜0或x＞0}.②求函數y=（fx）的定義域與值域時，不能僅僅求出x和y的取值范圍卻不將其寫成集合的形式.③區間的開閉這一問題需要警惕.如：函數的定義域為R，求k的取值范圍.正確答案是）顯然就錯了.④解決應用題時結果應帶上單位.⑤注意角的范圍，正確書寫結論.⑥審題應細心，盡量能劃關鍵詞.有的填空題或選擇題要求的是錯誤命題的數量，但因為平時做題時關注的大多是正確命題的數量，很多學生就會先入為主地將正確命題的數量填寫上去導致此題錯誤.F