高三概率專題復習的實踐性思考

☉江蘇省海門中學 王 娟

概率專題的內容是歷年各地高考試題中必考的內容，客觀題一般都會側重于計數原理、排列組合等概率問題的考查，而主觀題則會側重統計圖表等知識為主的綜合能力的考查，概率問題的試題在整個數學高考試卷中所占的比例是不容忽視的.

一、復習應著眼于概念難點的突破

概率專題的復習跟其他任何專題一樣，都應著眼于概念定義的回顧并夯實這一必要的基礎，學生對概念的表征只能停留在字面符號上是概率專題復習中比較常見的，由此常常導致學生在理解與應用方面出現差錯.

1.基本事件等可能

拋硬幣、擲骰子等模型是建立在基本事件等可能基礎上的經典的古典概型模型，學生面對這些貼近生活的古典概型模型一般都不會有太大的問題，但在幾何概型問題的理解中因為基本事件的選擇不當往往會忽略一些判斷從而導致概率公式的盲目套用，最終產生錯誤.例1就是一道比較容易出錯的典型習題.

例1 如圖1，在等腰Rt△ABC中，直角頂點為C，過C點在∠ACB內作射線CM并使其與線段AB交于點M，求AM＜AC的概率.

很多學生憑借已有經驗立馬得出M落在AB上的位置是等可能的，因此作出了這一答案.事實上，M落在AB上的位置是不等可能的，從題中條件可知，射線CM在∠ACB中是等可能分布的，基本事件為思考問題的角度得以確定，因此，應在AB上截取AC′=AC，則∠ACC′=67.5°，所以滿足題設的概率為

圖1

2.條件概率和事件的獨立性

一般來說，設A，B為兩個事件，且P（A）＞0，稱P（B|A）在事件A發生的條件之下事件B發生的條件概率.

學生對于條件概率的公式雖然一般都能背誦出來，但很多對其求解卻不得要領，究其原因，還是學生對于事件A、B同時發生時的概率P（AB）比較難以理解.也有為數不少的學生在一些具體情境中會直接默認為P（A）P（B），事實上，P（AB）=P（A）P（B）必須建立在事件A，B相互獨立的基礎之上，這正是學生在這部分內容學習中的難點.

二、復習應著眼于基本原理的策略運用

概率的理解離不開計數問題的理解與解決，這其中所蘊含的分類加法與分步乘法原則不僅僅是排列組合產生的源頭，而且還是復雜計數問題中最為基本的支干，此類問題的解決應在兩個原理的指導下并憑借排列組合的工具來完成，枚舉法、捆綁法、插空法以及正反轉化等方法是此類問題解決中經常用到的解題策略.

學生在高一、高二年級已經初步掌握了計數中的一些基本策略和技能，因此，很多學生對簡單基礎的計數問題往往會表露出比較輕視的態度，但面對一些比較復雜的概率問題往往又覺得難度甚大而束手無策，矛盾心理的產生使得解題變得更加困難.筆者在一些訪談與觀察之后發現，很多學生在此類復雜問題的解決中一般都在分類討論上出現了差錯，尤其面對一些限制條件較多的復雜題目，學生在解題著眼點的突破上往往比較混亂，分類依據的探尋也就更加有難度了，即使有的學生能夠進行分類研究，但也會缺乏應有的判斷，下述例2是筆者曾經在課堂教學中引用的反饋練習.

例2 某城市在城市廣場即將建造的一個花圃的形狀，花圃分成了如圖2所示的6個區域，上級要求在該花圃中栽種4種不同的花，每個區域栽種一種但相鄰區域栽種的花不能相同，不同的栽種方法一共有多少種呢？

圖2

分析：這是根據四色原理改編的一個問題，解題首先要明確的是題中所給出的限制條件，根據圖中所給出的區域結構特征以及四種花必須種全這一條件可以推斷出區域1內的花必須跟其他所有區域都不相同，因此，區域2、3、4、5、6內必須栽種3種不同的花才能符合題意要求.大多數學生對這些推斷一般都是能夠理解的，但將3種不同的花種入剩下的5個區域內應該如何分配對于學生來說卻是很困難的.事實上，面對接下來的問題，如果能夠列表并采取枚舉法來進行配湊與排除進行解題也就比較清楚明了了.

表1

根據學生在這部分內容中學習的情況進行分析，學生一旦掌握插空、捆綁等比較有技巧的策略后卻往往不易遺忘，在具體問題的解決與實施中也一樣如此，這是比較奇怪的.枚舉法這一最為基礎的方法在簡單的運用中一般會受到學生的輕視，在復雜問題的運用中卻又常常令學生望而卻步，這種矛盾的局面與學生心理在枚舉法的運用中是比較常見的.比如，枚舉法在換座位、n位數排列等常見問題的解決中是分類討論時必須經歷的，教師在教學中首先應強化學生的重視態度并引導學生在解題中嚴謹操作，使得問題能夠得到不重不遺的分類研究與解決.

三、復習應著眼于模型的正確提取

考查超幾何分布與二項分布之間聯系與區別的主觀題在歷年高考試題中并不少見，筆者在復習教學中曾經為學生提供了以下一個反饋練習.

例3 某食品廠檢查一條自動包裝流水線生產情況時隨機抽取了40件產品并分別進行了稱重，產品重量（單位：克）的分組區間如下：（490，495］，（495，500］，…，（510，515］，根據數據繪制如圖3所示的樣本頻率分布直方圖.

圖3

（1）根據頻率分布直方圖對重量超過505克的產品個數進行求解.

（2）在40件產品中任意抽取2件并設重量超過505克的產品數量為ε，求ε的分布列與數學期望.

（3）如果在這條流水線上任意抽取5件產品，求正好有3件產品的重量超過505克的概率.

分析：學生在這道二項分布與超幾何分布融合的習題中很好地解決了第（1）、（2）小題，但在第（3）小題中卻出現了兩種答案，且兩種答案在人數上勢均力敵.

解答2：設超過505克的產品數量為X，則X～B（5，0.3），則所求概率P（X=2）=（0.3）（20.7）3=0.3087（.這一解答約占54%）

學生的困惑主要表現在兩個方面：①兩個分布應該怎樣進行正確的區分呢？②分布不同，但為何最后的答案卻又如此接近呢？

筆者以為困惑①的解決應該著眼于兩者本質區別特征的揭示.

二項分布與超幾何分布的抽象形式分別是“有放回”和“不放回”，前者可以看成為獨立重復的，每次試驗只有兩種結果且各結果在每次試驗中發生的概率穩定.后者則表現為產品總數是有限的.超幾何分布與二項分布在抽樣形式“不放回”變成“有放回”時是可以轉變的.

困惑②的解決則應該著眼于二者概率計算公式的證明.事實上，二者的概率在總數N很大時甚至可以相等.這一證明過程并沒有必要一定要向學生展示，但教師應該聯系實際并作出通俗的解釋.一般說來，抽樣計算的概率在有放回與不放回時結果應該是不一樣的，而且其結果在總體樣本容量比較小時會展現出巨大的落差，但抽取的樣本數因為總體樣本容量特別大的緣故對總體的影響不會產生很大的影響，超幾何分布此時轉變成了二項分布且在概率上表現為相等.因此，教師在教學中還應該引導學生對“放回”、“獨立”、“總量很大”等關鍵詞進行重點關注，使學生能夠在準確提取相關分布模型的前提下進行問題的解決.

概率問題在近年來的高考試題中越來越呈現出其廣闊的背景，越來越多的其他知識也交匯到了概率問題中，融合不等式、算法、數列、平面向量、立體幾何等諸多知識的交匯題在高考試題中屢見不鮮，不過，這些背景不斷得到創新的試題所要考查的重點始終沒有改變，不管其中知識綜合的轉化與遷移是如何發生與發展的，學生只要能夠抓住問題的本質并結合自己牢固的知識基礎就一定能夠以不變應萬變.J