論課堂教學中師生討論的重要性

☉陜西省西安市華山中學 張永全

眾所周知，課程改革已歷經數輪，但是課堂教學的效果卻并沒有顯著提升.這種教學理念和教學實踐的相差是有一定的原因的.從應試的層面來說，大量的題型教學占用了教學時間，缺乏思考的教學導致了數學教學總是循環在“趕時間”的過程中；從知識的理解層面來說，灌輸式教學依舊在課堂教學中是主體的情形下，很多學生對于自己為什么錯一知半解，造成其聽懂教師的講解，而后續依舊在錯誤的道路上愈走愈遠.要解決這樣的懂而不會，我們的課堂教學要做如何的轉變呢？

第一，首先是理念的轉變，要研究教學導向和考試大綱，教學陷入無窮無盡的題海恰恰是教師對考試方向迷茫的一種表現；第二，要轉變課堂教學理念，教師滿堂灌的效果其實是低下的，大量心理學研究表明，學生在四十五分鐘的課堂教學中注意力集中階段不過二十五分鐘，因此滿堂灌的教學早已經不適合當下教學，亟需教師想方設法改變課堂教學.

一、從討論中解決錯誤

學生懂而不會是高中數學一個非常普遍的現象，不少文獻資料都有大量的研究.但是從根本上來說，這些研究并沒有解決最核心的問題，學生懂而不會如何去解決？其實是一個很簡單的道理：學生沒有從自身的錯誤中獲取錯誤的原因，因此也沒有能夠接受更好的解題方法帶來的新視角，或者換一個角度說，學生頭腦中的直覺思維影響著其解題的基本步驟和途徑，如何扭轉這種下意識的的操作，正是需要從這種下意識的操作中去發現問題、解決問題，從而從內心深處獲得新方法的重要性認知才是關鍵.

例1已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范圍.

（1）+（2），得0≤2a≤4，即0≤4a≤8.

（2）×（-1），得-1≤c-a≤1. （3）

（1）+（3），得0≤2c≤4，故而代入f（2）=4a+2c，得0≤f（2）≤12.

分析：上述的錯解是初學者易出錯的主要方法，不少學生在糊里糊涂中被告知不能使用這樣的方式求解，但是后續遇到類似的問題其依舊使用這樣的方法，錯誤依舊不斷.主要原因是：第一，學生沒有從錯誤中獲得錯誤的原因所在，這導致其腦海中遇到類似問題依舊是下意識的錯誤處理；第二，沒有足夠的理解自然沒有足夠的思考，沒有足夠的思考是因為教學是灌輸式的，若以討論為手段，自然能讓更多的學生理解錯誤所在，從而解決更多學生不犯類似的錯誤.

師：錯誤的原因在哪里？請同學們想一想.

生1：我反過來進行了檢驗，發現還真的是不對的，0≤4a≤8以及0≤2c≤4，可得f（2）=4a+2c的范圍是0≤f（2）≤12，但是a和c同時取零顯然不滿足題意，a和c同時取2也顯然不滿足題意，從結果上來說已經有錯誤了，但這個錯解的過程我還沒有發現為什么有問題.

師：很好，問題的原因是什么？

生2：應該是不等價的轉化！

師：請詳細說明.

生2：這個問題讓我想起了函數與方程中的一個問題，我們知道兩根都大于0的充要條件，即兩根都大于1的充要條件，并不是，舉個特例，很1顯然滿足不等式組根并非都大于1！

師：例子舉得非常到位，這說明什么？

生3：這說明只有是等價的變化才是恰當的，放大的變化自然不可能對應正確的解集.

師：請給出合理的正解.

生4：f（2）=4a+2c=3f（1）+f（-1），由已知可得3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，故而兩式相加可得2≤f（2）≤10.

師：為什么這樣的解答就行得通呢？

生4：因為避開了單個量a和c的求解，就不存在將變量范圍私自擴大的可能性，以整體性介入，避免了單量的錯誤，從而正確解決問題.

生5：這樣的描述顯得比較抽象，我認為可以從圖形的角度來進一步幫助理解：不等式組的可行域如圖1所示，不等式組，的可行域如圖2所示.錯解就是用到的是圖2，而變量的范圍是相互約束的，其本質是圖1.

圖1

圖2

師：最后一位同學闡述的理由最清晰，讓人信服.從圖形的角度直觀地讓大家感受了錯誤的主要因素，即兩個變量之間是有相互制約的，切勿割裂變量來求單個變量的范圍，從而導致解的范圍的擴大.大家通過積極的討論、深入的思考，相信以后不會再犯類似的錯誤.

二、從討論中尋求多解

數學問題解決能力的提高自然不是一朝一夕的，是從不斷的解題中去提升的，若是單一的思考，這種解題的思維是無法發散性地培養的.往往在教學中，一題多解是必不可少的提煉.筆者以為，課堂教學中對多解性問題的討論，而且是學生思維的多解，結合教師指導的多解，在相互探討中勢必能激發學生更好的學習，而且教師在此過程中，不宜表現得過于“聰明”，相反適可而止、鼓勵學生討論才是課堂教學的主旋律.

例2 若實數x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為______.

分析1：分類討論視角.

師：目標函數x2+y2≤1是什么樣的區域？

生1：顯然是單位圓及其內部.

師：目標函數z=|2x+y-2|+|6-x-3y|如何思考？

生2：需要分類討論.當x2+y2≤1時，6-x-3y≥0，所以F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，為了求F的最小值，可以按2x+y-2＞0與2x+y-2≤0，把問題轉化為約束條件（x2+y2≤1及2x+y-2＞0或2x+y-2≤0）下，求F的最小值.如圖3，直線l：2x+y-2=0將單位圓面x2+y2≤1分為兩部分：

圖3

（1）當2x+y-2＞0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，即問題轉化為求目標函數z=x-2y+4在陰影區域及其邊界的最小值，由線性規劃知識可求得F＞3.

（2）當2x+y-2≤0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=-3x-4y+8，即問題轉化為求目標函數z=-3x-4y+8在直線l下方與單位圓面所圍區域（包括邊界）的最小值，由線性規劃知識可求得F在點A時取得最小值3.

師：不難發現當x2+y2≤1時，|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，只需按照2x+y-2＞0與2x+y-2≤0分類即可.這是大家擅長的方式，但是對于小題而言稍顯煩瑣，再思考其他可行的方式.提示一下，目標函數z=|2x+y-2|+|6-x-3y|如何用幾何意義思量？

師：那我們可以從解析幾何的視角，用幾何的方式尋求思路.

生4：如圖4，直線l1、l2的斜率分別為兩直線間的夾角記為θ，則.令點P（x，y）是x2+y2≤1所表示區域上的一點，PN⊥l1，

圖4

說明：試題的解決不僅僅限于常規思路，分類討論的確是不錯，但是幾何的方式也是獨樹一幟有助于培養思維的發散性，課堂討論匯總學生還給出了不少其他的思路，限于篇幅筆者不能一一展開贅述，有興趣的讀者可以嘗試三角不等式等方式.

課堂教學最好的方式始終是以生為本的設計和嘗試，今天的課堂教學在解題方法和試題訓練上做足了文章，缺乏對學生思維的關愛和錯誤的考量，這種方式亟需改善，否則再多的教學時間也不能換來高效的教學效率，“講不如做、做更要思、思還需論”，可見討論在數學課堂教學中重要性，其關注了學習為何犯錯的因素，也提高了學習時間的注意力，是有效的手段.

參考文獻：

1.石志群.高考數學命題思路分析及復習策略［J］.中學數學月刊，2009（11）.

2.渠東劍.探究方法比探究結果更重要［J］.中學數學教學參考（高中），2013（4）.

3.沈恒.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升［J］.中學數學月考，2014（5）.

4.熊小平.反思性數學學習的理論與教學策略［J］.中學數學研究，2015（5）.J