高考導數新角度 數學素養新高度

☉安徽省安慶一中 陳賢清

導數及其應用是高中數學的核心內容之一，也是高考考查的重點與熱點之一.導數及其應用作為高考“盛宴”中的一個亮點，經常創新命題角度，通過新圖像、新定義、新背景、新交匯等多種方式“潛入”高考試卷中，精心包裝，達到提升學生的數學核心素養，培養學生的創新意識，提高學生各方面的綜合能力的目的.

一、新圖像問題

例1 （2017年浙江卷7）函數y=f（x）的導函數y=f′（x）的圖像如圖1所示，則函數y=f（x）的圖像可能是（ ）.

圖1

分析：根據導函數的圖像在三個零點的兩邊導數值的符號相反確定其為極值點排除選項A、B；再結合導函數的圖像在對應區間上的單調上排除選項C，從而得到正確判斷.

解：根據題中導函數y=f′（x）的圖像可知，其有三個零點，且每個零點的兩邊導數值的符號相反，因此函數y=f（x）在這些零點處取得極值，由此排除選項A、B；記導函數y=f′（x）的零點從左到右分別為x1，x2，x3，又在（-∞，x1）上f′（x）＜0，在（x1，x2）上f′（x）＞0，所以函數y=f（x）在（-∞，x1）上單調遞減，由此排除選項C.故選D.

點評：本題以導函數的圖像特征來確定原函數的圖像特征，關鍵是考查識圖能力與邏輯推理能力，以及對數學的探究能力和應用能力.巧妙地通過函數圖像，把函數的圖像與零點加以綜合，交匯函數的圖像與性質、導數的性質與零點等相關知識來達到考查能力、提升應用的目的.

二、新定義問題

例2 （2017年山東卷文10）若函數y=exf（x）（e=2.71828…是自然對數的底數）在f（x）的定義域上單調遞增，則稱函數f（x）具有M性質.下列函數中具有M性質的是（ ）.

（A）f（x）=2-x（B）f（x）=x2

（C）f（x）=3-x（D）f（x）=cosx

分析：通過新定義可知，若函數f（x）具有M性質，則有f（x）+f′（x）＞0恒成立，結合各選項中f（x）+f′（x）的取值情況加以分類討論，進而確定具有M性質的函數.

解：由題目條件可設g（x）=exf（x），則有g′（x）=ex［f（x）+f′（x）］，結合題目條件可得f（x）+f′（x）＞0.

選項A中，f（x）+f′（x）=（1-ln2）2-x＞0恒成立，則函數f（x）=2-x具有M性質；

選項B中，f（x）+f′（x）=x2+2x＞0不恒成立，則函數f（x）=x2不具有M性質；

選項C中，f（x）+f′（x）=（1-ln3）3-x＜0恒成立，則函數f（x）=3-x不具有M性質；

選項D中，f（x）+f′（x）=cosx-sinx＞0不恒成立，則函數f（x）=cosx不具有M性質.

故選A.

點評：本題以新定義為切入點，通過對新定義的再學習與提升，結合導數及其應用的轉化來處理相應的新定義問題.解決導數中的新定義問題，一般所給信息量大、復雜，難以一步建立聯系，經常需通過綜合分析，在紛繁的信息中提煉有用的信息，朝著導數的運算、函數的單調性、極值、最值等方面轉化，最后求解.

圖2

三、新背景問題

例3（2017年全國卷Ⅰ理16）如圖2，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______.

分析：連接OD交BC于點G，設OG=x，根據各邊的長度關系確定BC、DG，求解三棱錐的高及△ABC的面積，進而得到三棱錐體積V的解析式，設出函數f（x）=25x4-10x5，通過求導，結合導數來確定最值問題，進而確定所得三棱錐體積的最大值.

令（fx）=25x4-10x5，x∈

則f（′x）=100x3-50x4.

圖3

令f（′x）＞0，即x4-2x3＜0，解得0＜x＜2

點評：本題以立體幾何為背景材料來考查函數與導數應用問題，必須先讀懂題意，建立相應的函數模型，結合導數知識，利用導數的單調性、極值或最值來解決相應的應用問題.要注意在解決問題時，抓住函數與方程思想加以巧妙轉化，從而達到解決問題的目的.

四、新交匯問題

例4（2017年全國卷Ⅲ理21）已知函數f（x）=x-1-alnx.

（1）若（fx）≥0，求a的值；

分析：（1）通過求函數的導數，對函數的單調性進行了研究，求解函數的最小值點即可；（2）將問題轉化為“和”式不等式，根據數列求和公式求解即可.

解：（1）（fx）的定義域為（0，+∞）.

故x=a是（fx）在（0，+∞）上的唯一最小值點.

由于（f1）=0，所以當且僅當a=1時，（fx）≥0，故a=1.

（2）由（1）知，當x∈（1，+∞）時，x-1-lnx＞0.

點評：本題以導數及其應用與不等式、數列等相關知識的交匯，把新交匯考點巧妙地融入試題之中，構思巧妙、題意新穎.解決此類導數新交匯型問題的關鍵在于用慧眼去找尋“交匯點”，用心靈去感受題意，用真心去科學合理地運算推理，從而達到解決問題，提升能力.

高考中的導數及其應用試題視角獨特，立意新穎，選材緊扣教材又高于教材，具有立意深遠、背景深刻、設問巧妙等特點.回歸本質，導數及其應用的重點考查還是通性通法，將“考基礎、考能力、考素質、考潛能”這“四考”合一，體現了“培養和提高學生的數學核心素養”的課程理念，突出數學的創新意識.F