對一道橢圓習題的深入思考與探究

☉江蘇省淮州中學 楊 帆

筆者最近做過一道習題，然后，從審題與解法角度、數學的運算方式與運算技巧的角度進行了一些深入思考，對習題做了條件拓寬、結論推廣和類比聯想，現分享給各位讀者，希望能對各位讀者有所啟發.

一、習題及其解法

（一）習題再現

（1）求橢圓的標準方程；

圖1

（二）分析與解

由P的橫坐標可得P的坐標，帶入橢圓方程，聯立直線和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由判別式等于0得到a，b關系，進一步求得a，b的值，則橢圓C的標準方程可求.下面著重分析問題（2）.

分析1：設直線AB方程為y=kx+m，聯立直線方程和橢圓方程，利用弦長公式求得k，m的關系，求出原點O到直線AB的距離，把△AOB的面積化為含有k的函數，然后利用換元法求得最值.

解法1：設A（x1，y1），B（x2，y2），當AB的斜率存在時，設直線AB方程為y=kx+m，聯立（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-3）=0.

綜合上述，△AOB的面積的最大值為3.

點評：本題第（2）小問的解法思路比較直觀，體現函數思想.但是計算特別煩瑣，尤其換元更不容易想到，一般難以完成.

分析2：此題第（2）問是求最值類的問題，而求最值類的問題有時便捷的方法是利用基本不等式求解.

解法2：設A（x1，y1），B（x2，y2），當直線AB的斜率存在時，設直線AB方程為y=kx+m，

又Δ=64k2m2-16（1+4k2）（m2-3）=16（12k2+3-m2）＞0，得m2＜12k2+3.

綜合上述，△AOB的面積的最大值為3.

分析3：處理解析幾何計算時，可以采用“設而不求”法，為了簡便計算，點A，B的坐標設為參數形式.解題過程如下：

解法3：設A（x1，y1），B（x2，y2），則直線OB：x2y-y2x=0，

二、解后反思

思考（一） 解法與審題思考

題目怎么做，用什么方法做？關鍵取決于如何審題，從什么角度審題，將問題歸結為什么題型，進而選擇不同的解題方法.審題的角度很多，但是最常見審題角度之一就是從題目的問分析，將問題歸類，也會從所考查的知識角度分析，將問題歸類.每一類題型可能還有多種方法，可以結合每個具體題目條件的特殊性而選擇不同的解法解題.

這個題目的第（2）問，解法1就是從問的角度審題是求最值類問題，而求最值類問題最常用的方法是函數法.解法2又注意到求最值有一種比較重要簡潔的方法是基本不等式法，進而簡化了運算.從所考查的知識角度分析看這個題目研究的是直線與圓錐曲線問題，處理這類問題常見有“Δ”法和“設而不求”兩種方法，解法1和解法2是用“Δ”法，解法3是用“設而不求”法.

思考（二） 把題干條件適當放寬，結論仍然成立

由思考（二）知，當直線AB的斜率存在時，△AOB面積取最大值時，

思考（三） 把問題推廣為一般形式

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，

得（b2+a2k2）x2+2kma2x+m2a2-a2b2=0，

Δ=4k2m2a4-4（b2+a2k2）（m2a2-a2b2）=4a2b（2k2a2+b2-m2）.

當m2=b2+a2k2-m2，即m2=時，等號成立.

命題1：點A、B為橢圓C：=1（a＞b＞0）上兩動

命題2：四邊形ABCD為橢圓C：內接平行四邊形，則平行四邊形ABCD面積的最大值為2ab（.仿照思考二或思考四可以證明）

證明：設A（acosα，bsinα），B（acosβ，bsinβ），仿解法3知，△AOB的面積時，△AOB的面積的最大值此時A、B兩點的離心

又平行四邊形ABCD的面積S=4S△OAB，所以平行四邊形ABCD的面積的最大值為2ab.

思考（五） 對問題的變式思考

圖2

（2）當c

思考（六） 對上述結論類比聯想

將上面橢圓問題改為圓，則有下面的結論：

1.若長度為（tt∈（0，2R））的線段AB是半徑為R的圓O上兩點，則△AOB的面積S為定值

2.點A、B是半徑為R的圓O上兩動點，則△AOB的面積S的最大值為（此時，△AOB為等腰直角三角形）.

3.若ABCD半徑為R的圓O的內接四邊形，則四邊形ABCD的面積的最大值為R（2此時，矩形ABCD為正方形）.

高中數學對計算能力要求很高，不僅是解析幾何問題，如果能注意審題，選擇合適運算方式與運算技巧可能會減少計算量.當然也要學會對遇到的問題作深入思考和類比推廣聯想，這樣，不僅可以加深對所學習的知識理解與掌握，更能提升思維訓練的深度和廣度，培養創新性的思維.J