圍繞核心，智慧生成
——數(shù)學(xué)“題族教學(xué)”的實踐與思考

☉江蘇省揚州市湯汪中學(xué) 宮 明

智慧數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者陳士文先生認為，當我們遇到一個數(shù)學(xué)問題時，給這個數(shù)學(xué)問題起名為“本題”，解答完“本題”后，我們接著想：“本題”是從哪演變而來的，它的祖先是誰？也就是尋找“本題”的“祖題”.追根溯源，解答完“祖題”，我們再繼續(xù)想和“本題”相似相關(guān)的題目是什么？并給和“本題”相似又相關(guān)的題目起名為“胞題”（如同胞兄弟，相通而又相異）.解答完“祖題”、“胞題”，知道了問題從何處來，同類的問題是哪些？那問題又將往何處去呢？“本題”還能衍生出什么新問題呢？由“本題”再到“子題”.在此，筆者把“本題”、“祖題”、“胞題”、“子題”的教學(xué)過程簡稱為“題族教學(xué)”，以陳士文先生所編著的《智慧數(shù)學(xué)——從知識走向智慧》一書中《三角形角平分線的夾角計算》一講為例，闡明“題族教學(xué)”的實踐與思考.

一、本題呈現(xiàn)

本題 （1）如圖1，BD、CD是∠ABC和∠ACB的平分線且相交于點D，試說明∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，BD、CD是∠CBE和∠BCF的平分線且相交于點D，試說明∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3，BD為∠ABC的平分線，CD為∠ACE的平分線，它們相交于點D，試說明∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系.

圖1

圖2

圖3

本題中呈現(xiàn)了三角形角平分線夾角計算的3種解題模型，為了便于學(xué)生記憶，可以歸納為“內(nèi)加外減內(nèi)外分”“.內(nèi)加”是指兩條內(nèi)角平分線的夾角為90°+“外減”是指兩條外角平分線的夾角為90°-內(nèi)外分”是指一條內(nèi)角平分線和一條外角平分線的夾角為.對這些解題模型的理解能較好地提高學(xué)生的識圖能力.

本題的教學(xué)思考：本題主要給學(xué)生呈現(xiàn)解題模型、典型例題、公式推論等需要積累的知識，以便學(xué)生遇到新問題可以展開聯(lián)想.這些需要積累的知識，從心理學(xué)角度說就是一種圖式，頭腦里圖式儲存的多少也是判斷數(shù)學(xué)水平的標準之一.據(jù)說國際象棋冠軍頭腦里儲存著幾萬個棋局，因此他能夠面對復(fù)雜局面迅速作出反應(yīng).

二、祖題追溯

祖題 如圖4，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O.

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，則∠BOC=______°；（2）若∠ABC+∠ACB=116°，則∠BOC=______°；

（3）若∠A=76°，則∠BOC=______°.

追溯本題的由來，祖題以兩條內(nèi)角平分線的夾角計算為例，第（1）小問已知兩個內(nèi)角度數(shù)求解，第（2）小問已知兩個內(nèi)角度數(shù)和求解，第（3）小問已知一個內(nèi)角度數(shù)求解.在解答祖題的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)論的形成過程，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

祖題的教學(xué)思考：祖題是對本題本質(zhì)的追溯，它不是一堆題目中單一的個體，它是一個題族變式和衍生的根祖.在教學(xué)中，遇到固定程式的題，如解一元一次方程，祖題要體現(xiàn)有效的算法，指導(dǎo)學(xué)生按部就班地完成；遇到?jīng)]有固定程式的題，如幾何證明題，祖題應(yīng)總結(jié)出一些規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生先考慮什么，再用什么方法，使之有方向可以探尋，讓解題經(jīng)驗顯性化.

圖4

三、胞題變式

胞題 如圖5，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點A2，…，∠An-1BC的平分線與∠An-1CD的平分線交于點An.設(shè)∠A=θ，則：

（1）∠A1=______；

（2）∠An=______.

圖5

胞題呈現(xiàn)給學(xué)生的是解題模型的n次應(yīng)用，學(xué)生可以定性地感覺到當n無限大時，∠An的度數(shù)接近于0°，但絕不能為0°；在定量計算時，極限思想的無窮概念將會在學(xué)生的腦海產(chǎn)生朦朧的定義，使學(xué)生在頭腦中初步萌生出極限的概念.

胞題的教學(xué)思考：孔凡哲教授認為，人的認知形成與發(fā)展是一種建構(gòu)過程，是通過不斷建立圖式，進行同化及順應(yīng)，最后達到平衡的過程中實現(xiàn)的.“題族教學(xué)”中的本題是圖式，而胞題則為圖式的同化、順應(yīng)及平衡奠定了堅實的基礎(chǔ).由本題變式出的一系列胞題，實現(xiàn)對本題中的解題模型有機的串聯(lián)，既能覆蓋解題模型的諸多方面，又有助于理解本質(zhì)和關(guān)鍵.胞題變更本題中的非本質(zhì)屬性，即變換條件和結(jié)論，轉(zhuǎn)換形式或內(nèi)容，配置應(yīng)用環(huán)境或背景，讓學(xué)生體會到，不管怎么變化，原來萬變不離其宗.胞題為學(xué)生的思維發(fā)展提供了一個個階梯，循序漸進而不重復(fù)，有利于學(xué)生構(gòu)建完整合理的知識結(jié)構(gòu).

四、子題衍生

子題 如圖6，已知∠MON=90°，點A、B分別在射線OM、ON上，BE是∠ABN的平分線，射線BE的反向延長線與∠BAO的平分線AC相交于點C.當點A、B分別在射線OM、ON上移動時，試問∠C的大小是否發(fā)生變化？如果不變，請求出∠C的度數(shù)；如果∠C的大小隨點A、B的移動而發(fā)生變化，請求出∠C的度數(shù)的變化范圍.

圖6

子題的教學(xué)思考：數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，子題為學(xué)生的“再創(chuàng)造”提供了平臺.動態(tài)思想的滲透衍生出子題，與本題屬性有著很較大的區(qū)別，需要學(xué)生能夠在諸多條件中提煉出本質(zhì)特征，它有別于“就題論題”的胞題變式，是對本題的拓展.在子題教學(xué)中，我們要“有意無意”地外顯子題的衍生過程和方法，讓學(xué)生能知道子題是如何形成的，與之前的本題之間有著怎樣的聯(lián)系.

在中考、高考競爭日益激烈的今日，很多學(xué)生面對著老師、家長布置的教輔材料，整日陷在題海之中不能自拔，學(xué)習(xí)過程是被動的、機械的、低效的.題海中存在大量的簡單重復(fù)，如讓學(xué)生不加選擇地完成任務(wù)，沒有能理解題目的來龍去脈，數(shù)學(xué)能力也很難有提升.“題族教學(xué)”由本題開始，再向?qū)W生提出祖題、胞題、子題這3個問題.嘗試追問問題的本原，嘗試尋找問題的變式，嘗試創(chuàng)生問題的未來，使學(xué)生達到“解一題，通一類”的教學(xué)目標，學(xué)生得到的不僅僅是數(shù)學(xué)成績的提高，更主要的是可以從知識到問題，由問題生智慧，結(jié)構(gòu)化，問題串，創(chuàng)變中……從知識走向智慧.

參考文獻：

1.陳士文.“智慧數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵及特質(zhì)［J］.江蘇教育，2011（4）.

2.石樹偉.回歸本色：從導(dǎo)學(xué)案到導(dǎo)學(xué)筆記的實踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（1）.

3.陳永明.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究［M］.上海：上海教育出版社，2014.F