一道高考試題的再探究

☉江蘇省東臺中學(xué) 房 勝

橢圓是最重要的圓錐曲線之一，其知識點是歷年高考的必考內(nèi)容，且在高考試卷中所占的分值比重較大，在選擇題、填空題、解答題等各類題型中均有體現(xiàn)，多以中檔題為主，而高考對橢圓離心率的考查頻率更高，本文便從2017年的一道高考試題談起.

一、真題重現(xiàn)

【高考真題】已知P是以F1、F2為焦點的橢圓（a＞0，b＞0）上的一點，使得∠F1PF2=120°，則橢圓的離心率取值范圍是______.

圖1

思路分析：在橢圓的焦點三角形中，求離心率問題時，橢圓的定義、余弦定理和基本不等式是常用工具.

解析：由于橢圓的離心率只與橢圓的形狀有關(guān)，故不妨以焦點在x軸為例.如圖1，設(shè)|F1P|=m，|F2P|=n，根據(jù)橢圓定義知，m+n=2a，|F1F2|=2c.

在△F1PF2中，由余弦定理可知，（2c）2=m2+n2-2mncos120°，整理得mn=4a2-4c2.而據(jù)基本不等式有mn≤當(dāng)且僅當(dāng)m=n時，取等號.

點評：這道中檔離心率的問題，解答起來并非十分困難，只要對橢圓的定義清楚，余弦定理和基本不等式熟練掌握，問題便可解決.可是，高考時，時間精確到分分秒秒，時間便是分數(shù)，考生必須在規(guī)定時間內(nèi)作答，所以，答題時所采用的解題方法對考生的成績也有非常大的影響.那么，此題有沒有更優(yōu)的解法呢？

我們先來思考這樣一個問題：點P是橢圓上的任意一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個焦點，當(dāng)P在何處時，∠F1PF2最大？

如圖2，設(shè)|F1P|=m，|F2P|=n，∠F1PF2=θ（0≤θ＜π），根據(jù)橢圓定義知，m+n=2a，|F1F2|=2c.

圖2

在△F1PF2中，由余弦定理可知，（2c）2=m2+n2-2mncosθ，整理得.由于余弦函數(shù)在（0，π）上單調(diào)遞減，所以要使θ最大，則cosθ最小，而當(dāng)mn取到最大值時，cosθ最當(dāng)且僅當(dāng)m=n時，mn取到最大值，此時點P為橢圓短軸的端點.因此，有如下結(jié)論：

結(jié)論1：若點P是橢圓上的任意一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個焦點，當(dāng)點P為橢圓的短軸端點時，∠F1PF2最大.

有了這一結(jié)論后，我們再來看這道高考題：既然題目已知∠F1PF2=120°，說明當(dāng)點P為橢圓的短軸端點時，所成角應(yīng)不小于120°，如圖3，即60°≤∠F1QO＜90°.

所以sin60°≤sin∠F1QO＜sin90°，

顯然，比上面的常規(guī)解法要便捷得多.

二、結(jié)論應(yīng)用

圖4

應(yīng)用1：已知F1、F2為橢圓（a＞b＞0）上的兩個焦點，若橢圓上存在點P，使得PF—→1·PF—→2=0，求橢圓的離心率的取值范圍.

解析：要使PF—→1·PF—→2=0，即∠F1PF2=90°，根據(jù)結(jié)論1，只有當(dāng)∠F1PF2達到最大時度數(shù)不小于90°，橢圓上才能存在使∠F1PF2=90°的點P，如圖4，所以∠F1PO≥45°，

圖5

三、結(jié)論延伸

好了，有了結(jié)論1的基礎(chǔ)后，若把結(jié)論1中的焦點F1、F2改成橢圓長軸的兩個端點A，B，那么新結(jié)論還成立嗎？

若點P是橢圓上的任意一點，A，B為橢圓長軸的兩個端點，當(dāng)點P為橢圓的短軸端點時，∠APB最大？

我們不妨來證一證：

如圖6，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨在第一象限的橢圓曲線上取點P（x，y），過點P作PH⊥x軸，垂足為H.

設(shè)∠APH=α，∠BPH=β，

圖6

結(jié)論2：若點P是橢圓上的任意一點，A，B為橢圓長軸的兩個端點，當(dāng)點P為橢圓的短軸端點時，∠APB最大.

對于結(jié)論2，我們再舉一例，鞏固一下：

圖7

解析：根據(jù)結(jié)論2可知，∠APB最大時，其度數(shù)應(yīng)不小于120°，即∠AQO≥60°，如圖7，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，有tan∠AQO≥tan60°，所以所以a2≥

掌握文中所述的兩個結(jié)論，對此類橢圓中的離心率問題的解決，必定水到渠成、得心應(yīng)手.J