一類高考試題的平面幾何視角

☉廣東省珠海市第一中學 江云富

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）曾說：“在認識現實世界與聯系實際、使現實數學化方面，幾何的作用是無法被替代的……借助眼睛、手等各種感觀來接觸空間形狀，是一種最好的引導機會，它更有利于發現和創造……”現在高中數學雖然沒有單純的平面幾何內容，但很多章節里都有著平面幾何的背景，滲透著平面幾何知識，在強調能力立意的高考數學試卷中，也有不少對幾何直觀能力考查的試題，在大力倡導培養創新型人才的今天，我們在教學中應該充分挖掘這類含平面幾何背景的素材，著力引導學生發展邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.本文就這一問題從以下幾個方面進行探究.

一、平面幾何在立體幾何中的運用

立體幾何與平面幾何有著天然的聯系，在立體幾何教學中應充分地利用平面幾何性質來幫助研究圖形的結構和位置關系，如果回避難點，一味地依賴空間坐標系和空間向量，會影響學生空間認知和直觀想象能力，與課程目標相背離.事實上，很多時候結合平面幾何知識，傳統的幾何法更簡潔.

例1（2017年全國卷Ⅰ理科第18題）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角APB-C的余弦值.

圖1

圖2

分析：在第（2）問中，很多學生根據第（1）問的結論和第（2）問的條件，會以AD的中點O為原點，OA為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系來計算二面角，但平面幾何知識告訴我們，△PAB是以PB為斜邊的等腰直角三角形，△PBC是等邊三角形（如圖2），記PB中點為E，連接AE、CE，AE⊥PB，CE⊥PB，則∠AEC即為所求的二面角的平面角，并且易知△AEC的三邊長，用余弦定理就會很快求解其值，比起用空間坐標系，顯然要簡潔很多.

二、平面幾何在解析幾何中的運用

解析幾何的坐標法，借助坐標系，把幾何問題轉化成代數問題，通過代數運算研究圖形性質，在算法上是巨大的進步.然而學習解析幾何最大的困難是計算量大而且非常復雜，學生常見的現象是算到一半就“望而卻步”，或是算錯.對于有些解析幾何問題，如果先對圖形作一些平面幾何上的探究和處理，往往會找到簡潔而明快的解題方法.

例2（2005年天津卷理科第20題）某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖3所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tanα=.試問：此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）.

圖3

圖4

分析與解：此題常規的方法是建立坐標系，寫出點B、C的坐標和直線AP的方程，設出點P的坐標，借助斜率來計算∠BPC的正切值，再求此正切值的最大值，無疑計算量很大，最后正切值式子的最大值也不容易求.用平面幾何中圓方法求解則很簡單：以OA為x軸，OB為y軸，建立如圖4所示的直角坐標系，則B（0，220），C（0，300），A（200，0），AP的方程為y=x-100，AP與y軸交于點D（0，-100），作圓經過點B、C且與直線AP相切，切點為P，此時除P點外直線AP上所有點都在圓外，用同弧上的圓周角相等的性質，可以證明圓外的點對弦BC的張角都小于∠BPC，所以切點P即為所求的點，根據切割線定理，DP2=DB·DC得DP=160，P點的縱坐標為60.

評注：解析幾何問題中常見的距離和角度等幾何元素，是容易用平面幾何方法來處理的.

三、平面幾何在解三角形中的運用

三角形是基本的幾何圖形，也是眾多平面幾何定理和性質的常用載體，很多解三角形的問題可以將平面幾何知識和正弦定理、余弦定理等三角函數知識綜合運用來求解.

例3（2015年新課標卷Ⅱ文科第17題）在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC.

（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B.

分析與解：（Ⅰ）如圖5，根據角平分線的幾何性質，有再由正弦定理得

圖5

（Ⅱ）因為BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos∠BAC=3AC2，所以BC=AC＜AB?∠B＜∠C.于是∠B為銳角，所以∠B=30°.

評注：如第（Ⅰ）問中不用角平分線定理，則要在△ABD和△ACD中用正弦定理，顯然要麻煩很多.

例4（2015年新課標卷Ⅰ理科第16題）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是______.

分析與解：由平面幾何知識知，四邊形ABCD四個內角和為360°，∠A=∠B=∠C=75°，則∠D=135°，四邊形ABCD的四個內角都為定值，BC邊為定長，在這個前提下，只有AD邊可以平行移動，如圖6，延長CD與BA交于點E，考慮AD移動的兩個極端位置，即D點與C點重合（此時A在G處），A點與E點重合，分別求出此時BG、BE的長，即可得到AB的取值范圍

圖6

評注：此題的得分率很低，部分原因就是思維局限于“解三角形”，而沒有用平面幾何知識去考慮問題.

四、平面幾何在向量中的運用

平面向量有著深厚的平面幾何背景，向量加法、減法和數量積運算本身就有幾何意義的解釋，尤其是三角形中的向量問題，和坐標法一樣，幾何法也是處理向量問題的常用方法.

例5 （2017年浙江卷第10題）如圖7，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O，記I1=O—→A·O—→B，I2=O—→B·，則（ ）.

圖7

（A）I1＜I2＜I3（B）I1＜I3＜I2

（C）I3＜I1＜I2（D）I2＜I1＜I3

分析與解：本題如果用解三角形知識去嚴密求解，要先后輾轉△ABC、△ACD、△BCD、△OCD等四個三角形，才能求出OB、OC、OD的長和∠COD的值，得到

但作為選擇題，這樣做太費時費力，根據圖形進行直觀想象，設四邊形ABCD開始為邊長為2的正方形，在∠ABC=90°和其他邊長不變的前提下，慢慢伸長CD，這樣即可看出∠AOB=∠COD＞90°，OA＜OC，OB＜OD，同樣能得到結論，且直觀簡潔.

例6（2017年全國卷Ⅱ理科第12題）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小值是（ ）.

分析與解：如圖8，設BC的中點為D，由向量加法的幾何意義和平行四邊形知識可知于是轉而求的最小值，再設AD的中點為O，為定值，于是當時，P—最小，從而最小.用這種幾何法顯然比答案中建坐標系去計算要快很多.

→最小.用這種幾何法顯然比答案中建坐標系去計算要快很多.

圖8

五、平面幾何在數列中的運用

當數列中的項涉及幾何圖形中相關的量時，幾何性質能幫助我們很好地厘清這些量之間的關系.

例7 （2016年浙江卷理科第6題）如圖9，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q表示點P與點Q不重合）. 若dn=|AnBn|，Sn為△AnBnBn+1的面積，則（ ）.

圖9

分析與解：設這個銳角的頂點為O，從解三角形的角度發現，△OAnBn的兩邊|OAn|，|OBn|均勻地遞增，但兩個內角∠OAnBn，∠OBnAn不斷地改變，很難找到|AnBn|的變化規律，應該先考慮面積Sn，在△AnBnBn+1中，邊|BnBn+1|為定值，高為|OAn|sin∠AnOBn，Sn=|OAn||BnBn+1|sin∠AnOBn，|BnBn+1|sin∠AnOBn為定值，|OAn|等差，所以{Sn}是等差數列.

六、平面幾何在概率中的運用

概率中的幾何概型常常要用到平面幾何知識，也有些非幾何概型但涉及幾何圖形，也考查了平面幾何的基礎知識.

例8 （2013年江西卷理科第18題）小波以游戲方式決定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊.游戲規則為：以O為起

點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如圖10）這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數量積為X.若X=0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊.

圖10

（1）求小波參加學校合唱團的概率；

（2）求X的分布列和數學期望.

分析與解：本題利用幾何圖形對向量的數量積的幾何意義作了細致的考查，從8個點中任意取兩點為向量終點的不同取法共有=28種，由圖形分析可知，兩向量數量積X的所有可能取值為-2，-1，0，1.

（1）X=0時，兩向量垂直，共有8種情形，所以小波參加學校合唱團的概率為P（X=0）

（2）X=-2時，只有兩向量均在對角線上且方向相反，共2種情形，-1時，有兩類：兩向量夾角為135°共有8種情形，兩向量夾角為180°共有2種情形，P（X=-1）=；X=1時，兩向量夾角為45°共有8種情形，P（X=1）=所以X的分布如下表：

X -2 -1 0 1 P 1 14 22 5 1 477

評注：此題兩問都是向量數量積與平面幾何知識的綜合運用，尤其是第（2）問，要有很好的圖形直觀能力，只有對幾何圖形細致的觀察，才能準確地計算各種情形的種數.

在培養學生嚴密邏輯推理、直觀想象等能力方面，平面幾何有著獨特的、不可替代的作用.錢學森先生就認為，他嚴密的思想方法得益于中學階段對平面幾何的學習.上述例子表明，高中數學很多問題都涉及幾何圖形和幾何方法，教學中我們應充分地挖掘數學問題中平面幾何的育人價值，實實在在地在課堂教學中落實發展學生的數學核心素養.

參考文獻：

1.王世強.幾位前輩學者對平面幾何的看法［J］.中學數學雜志，2013（4）.

2.陳婷，田麗娜，詹紫浪，傅種孫.《高中平面幾何講義》之考察［J］.數學教學研究，2012（8）.

3.中華人民共和國教育部.關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見［M］.教基二［2014］4號.F