掌握運(yùn)算方法 提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

☉江蘇省金湖中學(xué) 陳萬(wàn)斌

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算是計(jì)算解決問(wèn)題的基礎(chǔ).

在數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，教師要不斷培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；利用運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)實(shí)際運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣；形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

一、尋找規(guī)律，提高算速

所以{an}值具有周期性特點(diǎn)，且T=3，所以a99

例2 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=7n+2，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=n2，若將數(shù)列{an}與{bn}中相同的項(xiàng)按從小到大的順序排列后記作{cn}，則求c9的值.

解析：因?yàn)閍n與bn中有相同的項(xiàng)，則{bn}中的項(xiàng)則滿足除以7余2的特點(diǎn)，即b7k±3=（7k±3）2.

故這些項(xiàng)為：32，42，102，112，172，182，242，252，312……

因此c9=312=961.

二、抓住特征，尋求算法

解析：如圖1，不妨設(shè)半徑R=1，點(diǎn)D在優(yōu)弧A（B上，所以5O—→A+12O—→B=13O—→C.把它兩邊平方

52+122+120—O→A·—O→B=132.②

所以由②知，O—→A·O—→B=0，所以∠AOB=90°，

圖1

所以由①知，∠ACB=135°.

例4 數(shù)列{an}與{bn}分別滿足n∈N+，且a1=5，b1=2，b2，a2，b4成等比數(shù)列，2，b2，a2-2成等差數(shù)列.若數(shù)列{cn}是由數(shù)列{an}與{bn}相同的項(xiàng)依次組成的新的數(shù)列，則數(shù)列{cn}是什么數(shù)列？證明你的結(jié)論，并求出其通項(xiàng)公式.

解析：由題意可知，an=3n+2，bn=2n，且2n被 3整除余2，

因?yàn)?m·2被3整除余2，則cn=2×4n.

三、理解題意，巧妙運(yùn)算

例5已知（fx）=x2+ax+b值域是［0，+∞），如不等式（fx）＜c的解集為（m，m+6），求c的值.

方法1：分類討論利用圖像解題.

解析：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，有下列情況：

①當(dāng)a≥2時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖像如圖2所示，在R上是單調(diào)增函數(shù)，不滿足題意；

②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖像如圖3所示，滿足題意；

③當(dāng)a=0時(shí)，滿足題意（圖略）.

圖2

圖3

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖像如圖4所示，滿足題意.

綜上可知，a的取值范圍是a＜2.方法2：認(rèn)清本質(zhì)，轉(zhuǎn)化題意.由題意知，函數(shù)不是單調(diào)的.

解析：由題意知，當(dāng)函數(shù)是單調(diào)的，函數(shù)只能是單調(diào)增函數(shù)，即a＞0.

圖4

所以a的范圍是a＜2.

四、縮小范圍，減少運(yùn)算

例7 已知數(shù)列{an}，a2=1，前n項(xiàng)和為

（1）求a1.

（2）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式.

解析：（1）a1=0（略）.（2）由題意可知，an=n-1（證明略）.

五、學(xué)會(huì)預(yù)估，運(yùn)算持續(xù)

例8已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖像在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若k∈N*，且對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值.

解析：（1）a=1（過(guò)程略）.

而x0是直線y=x-2與曲線y=lnx（x＞1）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖5易知，

所以H（x0）∈（3，4），又k對(duì)任意x<1恒成立，所以正整數(shù)kmax=3.

圖5

六、數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)算

解析：運(yùn)用幾何意義解題.

由題意知，BA+BC=2AC.

不妨設(shè)AC=2，以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)和AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，可知點(diǎn)B軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓（除去A，C兩點(diǎn)），如圖6.

圖6

由幾何意義知，點(diǎn)B為短軸端點(diǎn)時(shí)∠ABC最大，

七、排查干擾，準(zhǔn)確運(yùn)算

（1）求橢圓方程；

圖7

（2）如kBD=k1，kAM=k2，求證：存在常數(shù)λ，使得k1=λk2；

（3）求（S△OMN）max.

解析：（1）不妨設(shè)直線y=x與橢圓C一個(gè)交點(diǎn)為H（n，n）.

運(yùn)算是學(xué)生最最基本的一種數(shù)學(xué)能力，任何數(shù)學(xué)的表達(dá)和結(jié)果都是通過(guò)運(yùn)算來(lái)展現(xiàn)的.教師要在平時(shí)教學(xué)中，留有時(shí)間讓學(xué)生運(yùn)算，培養(yǎng)獨(dú)立運(yùn)算的意識(shí)和習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生不畏運(yùn)算、敢于運(yùn)算、堅(jiān)持運(yùn)算甚至喜歡運(yùn)算的品質(zhì)，掌握進(jìn)行運(yùn)算方向的選擇、優(yōu)化算法、科學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)算步驟的方法，達(dá)到條理運(yùn)算、準(zhǔn)確運(yùn)算的能力，并從運(yùn)算中學(xué)會(huì)表達(dá)、形成嚴(yán)瑾的科學(xué)態(tài)度和求實(shí)精神，努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).J