問題導引 逐層深入

周先華 謝發(fā)超

[摘 要]數(shù)學抽象是高中數(shù)學核心素養(yǎng)的六大組成部分之一.數(shù)學抽象核心素養(yǎng)培養(yǎng)是高中數(shù)學教學的核心.在課堂教學中，為了讓學生實質(zhì)性地參與數(shù)學抽象的每一個過程，可以采用問題導引、逐層深入的方法.

[關鍵詞]問題；數(shù)學抽象；核心素養(yǎng)；案例

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02000903

一、對高中數(shù)學核心素養(yǎng)下的數(shù)學抽象的認識

高中數(shù)學核心素養(yǎng)包括六個方面，分別是數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.這些核心素養(yǎng)既相互獨立，又相互交融，是一個有機的整體.

數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).一切數(shù)學對象都是抽象思維的產(chǎn)物.高中數(shù)學核心素養(yǎng)視角下數(shù)學抽象主要表現(xiàn)為：（1）獲得數(shù)學概念與規(guī)則；（2）提出數(shù)學命題與模型；（3）形成數(shù)學

思想

與方法；（4）認識數(shù)學結(jié)構與體系.

數(shù)學抽象包括四個方面：

1.同向思維的數(shù)學抽象.即思維在原來方向上的繼續(xù)，它主要包括弱抽象和類比聯(lián)想等方法.

2.逆向思維的數(shù)學抽象.指與原先思維相反方向上的思考與研究，它往往能發(fā)現(xiàn)原命題中的前提是否為相應結(jié)論的充要條件，可以加深學生對有關概念的本質(zhì)特性的認識，從而促進概念的精確化.它主要包括強抽象、精確化與完備化的思維方法.

3.悖向思維的數(shù)學抽象.即背離原來的認識并在直接對立的層面上探索新的發(fā)展可能性.它雖然與已建立的認識直接相對立，但并不意味著直接的矛盾，而只是表明新的研究是與已有的認識相沖突.能否自覺地應用悖向思維，即能否自覺地沖破舊有思想的束縛，對于一些重要的發(fā)現(xiàn)往往具有決定性的意義.

4.審美直覺的數(shù)學抽象.“數(shù)學發(fā)明即是選擇”（龐加萊語），而正是審美直覺起著這種特殊的“選擇”作用.因此，可以“美的追求”作為數(shù)學中自覺的創(chuàng)造性活動的指導性原則，而形成通常所說的“數(shù)學中的美學方法”，它主要包括四個原則：簡單性、統(tǒng)一性、對稱性和奇異性.

二、案例研究

1.尋求來源，問題初探，獲得概念與規(guī)則

【例1】 [《普通高中課程標準實驗教科書人教A版數(shù)學》（以下簡稱“教材”，必修2，第144頁，復習參考題B組第5題]已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，

直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0.求證：直線l恒過定點.

[設計意圖]通過教材上的習題，引導學生分析、理解“恒”的含義.把原直線l：

（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0

轉(zhuǎn)化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0后，為什么方程組

2x+y-7=0x+y-4=0

恒成立？顯然，直線l恒過定點是相對于實數(shù)m的變化而言的，即無論m的值怎樣改變，等式m（2x+y-7）+（x+y-4）=0恒成立，所以

2x+y-7=0x+y-4=0

，即直線l恒過定點（3，1）.讓學生親自參與知識（恒成立）的形成過程.

【例2】 通過上述例題，你認為可以怎樣判定一條直線是否過一定點？怎樣求出這個定點的坐標？

[設計意圖]引導學生歸納出解題的通法.這是從特殊到一般的弱抽象過程，體現(xiàn)同向思維的數(shù)學抽象過程.這對學生數(shù)學抽象思維能力的提高有著極其重要的作用.當然，學生還可以根據(jù)直線方程的點斜式方程求其定點.

【例3】 已知點A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M.試根據(jù)下列條件分別求點M的軌跡方程.

（1）（選修2-1，第41頁例3）直線AM與BM的斜率之積為-49；

（2）（選修2-1，第55頁探究）直線AM與BM的斜率之積為49；

（3）（選修2-1，第80頁復習參考題A組第10題）點A、B分別為△ABC的兩個頂點且AC與BC的斜率之積為m（m≠0），試探求頂點C的軌跡方程.

[設計意圖]通過對相似問題的求解，形成對一類問題的求解方法及結(jié)果的類比研究.通過對從特殊到一般問題[例3第（3）問]的求解，再次強化弱抽象這種正向數(shù)學抽象在數(shù)學解題中的應用，從而促使學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提高.

【例4】 已知點A、B的坐標分別為（-1，0），（1，0），直線AM、BM相交于點M.試根據(jù)下列條件分別求點M的軌跡方程.

（1）（選修2-1，第42頁練習第4題）直線AM的斜率與直線BM的斜率的商為2.

（2）（選修2-1，第74頁B組第3題）直線AM的斜率與直線BM的斜率的差為2.

（3）（選修2-1，第81頁B組第5題）直線AM的斜率與直線BM的斜率的和為2.

[設計意圖]通過運用例3形成的求解方法，再解決相似問題，體現(xiàn)類比這種數(shù)學抽象方法的應用.

【例5】 通過例3和例4，你有什么感悟？

[設計意圖]一個開放性的問題，讓學生可以從條件“已知兩直線的斜率的和（或差、積和商）為常數(shù)”的應用、求軌跡方程的五步法、軌跡的完備性等多角度思考和總結(jié)，既可以形成對解決這類問題的通法，又對數(shù)學審美直覺的簡單性、統(tǒng)一性有了直觀的感知，進而提高學生數(shù)學審美直覺的數(shù)學抽象思維能力.

2.一題多解，思維發(fā)散，提出命題與模型

【例6】 （2017年全國高考新課標Ⅰ卷理科第20題）已知橢圓C：

x2a2+y2b2=1

（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1.證明：l過定點.

[設計意圖]通過類比例3、4的通法，把點A、B的坐標代入

kP2A+kP2B=-1

中得到

k=-m+12

，再類比例1的方法，代回到直線的方程中得

y=-m+12x+m

，即

m（x-2）+（x+2y）=0

或

y+1=-m+12（x-2）

，從而得直線過定點（2，-1）.

這種方法是在例1至例5的基礎上的靈活應用.讓數(shù)學思維經(jīng)歷了從特殊到一般的弱抽象，再從一般到特殊的強抽象過程.這種數(shù)學抽象方法的循環(huán)運用，給學生以極大的數(shù)學思維層面的深層次享受.

【例7】 分組合作探究：請你用不同的方法求解例6第（2）問.

[設計意圖]一題多解.既探尋知識之間的聯(lián)系又訓練學生對通性通法的理解與運用能力.

通過合作探究，學生得出以下解題方法.

解法一：根據(jù)直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，設其中一條直線的斜率為k，則另一條直線的斜率為-1-k，從而根據(jù)兩直線的點斜式方程分別與橢圓方程聯(lián)立求解得A、B兩點的坐標，再寫出直線AB的方程，最后運用例2總結(jié)的方法得解.

這種解法在解析幾何也常用，其關鍵是減少解題過程中的待定系數(shù)（由原來的k，m減少到只有k）.

解法二：特殊值法.即根據(jù)位置找到直線可能過的定點為（2，-1）后，再證明過此定點的直線l一定符合題意，從而得解.

特殊值法在解選擇題時常用，但把它用來求解這類恒成立問題卻往往非常實用.它實際上是一種逆向的思維方法，可提高學生的逆向思維能力.

解法三：參數(shù)法.根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，設它們的坐標為

A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ）

.代入條件kP2A+kP2B=-1中得到參數(shù)α、β的關系式，再代入直線l的方程中，仍然由例2的方法得解.

【例8】 例6（2）改為（前面所有條件不變）：設直線l不經(jīng)過點P（0，-1）且與C相交于A，B兩點.若直線PA與直線PB的斜率的和為-1，證明：l過定點.

[設計意圖]采用例6完全相同的解題方法，可以求解得此時直線過定點（-2，-1）.一題多變是命題的基本策略之一.此問題中把點由（0，1）變?yōu)槠潢P于x軸的對稱點P（0，-1）后，得出對稱的結(jié)論：原命題中定點（2，-1）與本問題中定點（-2，-1）也關于y軸對稱.引導學生對已形成的通法進行鞏固，實際上是強、弱抽象方法的再次運用，這種對問題的改變，是培養(yǎng)學生數(shù)學思維方法與能力的最好方法.

【例9】 把例6中第（2）問改為：若直線P2A與直線P2B的斜率的和為非零實常數(shù)p（其他條件不變），還能證明直線l過定點嗎？若能，請求出定點的坐標.

[設計意圖]仍然通過與例6完全相同的解法，求證出直線l過定點（-2p，-p）.把常數(shù)-1用常數(shù)p表示后，增加了運算難度，強化了通法的應用，培養(yǎng)了學生的弱抽象能力及運算能力.

三、對核心素養(yǎng)視角下數(shù)學抽象能力培養(yǎng)的思考

1.強化逆向思維訓練

逆向思考是數(shù)學發(fā)現(xiàn)（或發(fā)明）最有力的方法之一.如果一個問題的解答陷入毫無希望的狀況時，試著把這個問題顛倒過來，把問題作為論據(jù)，把論據(jù)作為問題，往往會收到意想不到的效果.

教育承載著培養(yǎng)創(chuàng)新人才的重任.但創(chuàng)新人才需要創(chuàng)造性思維，而創(chuàng)造性思維的一個重要成分就是逆向思維.高中數(shù)學內(nèi)容中有非常多的逆向思維的實例.比如，逆運算（對數(shù)與指數(shù)等）、逆命題、函數(shù)與反函數(shù)、微分與積分、立體幾何的性質(zhì)與判定等.只要教師在數(shù)學課堂中經(jīng)常提示逆向的本質(zhì)，就不但能讓學生把新知識合理地建構在原有的知識體系上，達到溫故而知新的效果，還能讓學生不斷地認識逆向思維的過程和方法，把數(shù)學課堂變成培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的天堂.逆向思維的訓練，既能提高學生一題多解、一題多變的解題能力，又能訓練學生的批判性思維能力和創(chuàng)造性思維能力.因此，逆向思維的訓練過程就是核心素養(yǎng)的養(yǎng)成過程.

2.轉(zhuǎn)變數(shù)學知識觀

素養(yǎng)不是知識，但知識的積累是素養(yǎng)形成的必要而不充分條件.數(shù)學知識不是被儲存的一堆事實，而是數(shù)學的思維方式.伴隨知識社會的到來，知識的價值正與日俱增.在信息時代，要讓知識的學習過程成為素養(yǎng)的形成過程，關鍵是要使數(shù)學知識的形成過程成為課堂教學的對象和可利用的資源，讓知識成為教學探究活動的“副產(chǎn)品”.即知識是過程，而非產(chǎn)品.上述例題的解決過程即是題型及其通法的教學過程，也是學生數(shù)學抽象思維能力的培養(yǎng)過程，即數(shù)學核心素養(yǎng)的形成過程.

（1）在數(shù)學概念課中培養(yǎng)數(shù)學抽象能力

重視“雙基”教學是我國數(shù)學教育的優(yōu)良傳統(tǒng).數(shù)學核心素養(yǎng)是在掌握數(shù)學知識的基礎上，在數(shù)學活動中逐步形成的.從數(shù)學抽象的四個表現(xiàn)來看，數(shù)學概念又是最基本的.概念是思維的單元和細胞，概念組成命題，命題形成判斷，數(shù)學

思想

與方法是數(shù)學知識在更高層次的抽象和概括.重視概念教學，提升概念教學水平，其中最重要的是抓數(shù)學概念形成的教學，要選取學生熟悉的典型實例，提供豐富的生活背景材料，創(chuàng)設恰當?shù)那榫?，讓學生經(jīng)歷完整的數(shù)學概念的形成過程.

（2）在復習課、方法總結(jié)中提升數(shù)學抽象能力

通法的總結(jié)歸納與形成既是從特殊到一般的弱抽象，也是數(shù)學審美直覺中的統(tǒng)一性、簡單性與對稱性的直接體現(xiàn)；根據(jù)題型的通法解決問題又是從一般到特殊的強抽象.因此，復習課、方法總結(jié)課是非常重要的數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)課型.

3.轉(zhuǎn)變數(shù)學方法觀，倡導深度學習與協(xié)作學習

一切知識，只有成為學生探究與實踐的對象時，其學習過程才有可能成為素養(yǎng)發(fā)展的過程.因此，轉(zhuǎn)變數(shù)學知識的學習方式是素養(yǎng)發(fā)展的前提.為此，一要倡導深度學習，讓數(shù)學知識學習成為批判性思維和數(shù)學問題解決的過程；二要倡導協(xié)作學習，讓知識學習成為交往與協(xié)作，即集體創(chuàng)造知識的過程.在此過程中，學生的數(shù)學抽象能力和其自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實踐等能力都能得到提高，從而讓數(shù)學知識的學習過程真正成為學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程.

（責任編輯 黃桂堅）