開拓學(xué)生思維 打造有效課堂

陳銀輝 范正鑫

[摘 要]提升課堂教學(xué)的有效性必須將精講精練落到實(shí)處.一題多解是開拓學(xué)生思維和提高學(xué)生興趣的有效方法，值得教師備課時(shí)關(guān)注.

[關(guān)鍵詞]開拓思維；一題多解；精講精練；有效課堂

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02002301

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.通過解題活動(dòng)來提高學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要途徑.高三復(fù)習(xí)時(shí)間緊，課堂容量大，傳統(tǒng)的做法是搞題海戰(zhàn)術(shù)，其結(jié)果是學(xué)生苦不堪言，而且收效甚微.這就迫切要求教師在提高數(shù)學(xué)課堂的有效性上狠下功夫，做到精講精練.下面以高三復(fù)習(xí)中的一道習(xí)題為例，談?wù)勅绾伍_拓學(xué)生思維，拓寬學(xué)生解題思路，提高學(xué)生能力.

引例：已知x>0，y>0，1x+2y=1

，求x+2y的最小值.

解法一：x+2y=（x+2y）·1=（x+2y）（1x+2y）=

5+2yx+2xy

≥5+2

2yx×2xy

=9

.

當(dāng)且僅當(dāng)2yx

=2xy

，即x=y=3時(shí)等號成立.此時(shí)x+2y取最小值9.

評析：此處引用了“1”的附乘功能，進(jìn)而利用基本不等式求最值.處理起來簡潔明了，更便于學(xué)生掌握.

解法二：由

1x+2y=1

得到

y=2xx-1（x>1）.

∴x+2y=x+4xx-1

=x+4（x-1）+4x-1

=（x-1）+4x-1+

5≥2（x-1）×4x-1+5=9

.

當(dāng)且僅當(dāng)x-1=4x-1

，即x=y=3時(shí)等號成立.此時(shí)x+2y取最小值9.

評析：通過消元的方法，將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，然后結(jié)合不等式、分離常數(shù)等知識，把問題處理得自然流暢，非常簡單.但是要注意不等式運(yùn)用的條件，即“x>1”這一隱含的條件.

解法三：由

1x+2y=1

得到y(tǒng)=2xx-1（x>1）

.∴x+2y=x+4xx-1

=x2+3xx-1.

令f（x）=x2+3xx-1（x>1）

.

下面求函數(shù)f（x）的最小值.

f′（x）=x2-2x-3（x-1）2

=（x-3）（x+1）（x-1）2

.

令f′（x）=0得到x=3.

當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，f′（x）>0.

所以當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值.

又f（3）=9，故f（x）最小值為9，即x+2y的最小值為9.

評析：此處運(yùn)用函數(shù)思想，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識，發(fā)揮了導(dǎo)數(shù)求最值的功能，從而化難為易，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用.

解法四：將1x+2y=1

變形為（x-1）（y-2）=2，（x>1，y>2），

則x+2y=（x-1）+2（y-2）+5≥22（x-1）（y-2）+5=9

.

當(dāng)且僅當(dāng)x-1=2（y-2），即x=y=3時(shí)等號成立.此時(shí)x+2y取最小值9.

評析：筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，解法四學(xué)生能接受而且處理起來也比較方便，但是普遍反映想不到.筆者就順?biāo)浦?，請大家觀察：變形前

“1x+2y=1

”與變形后“

（x-1）（y-2）=2（x>1，y>2）”

這兩個(gè)等式之間有什么規(guī)律？然后筆者又給出“2x+

8y=1”讓學(xué)生自己完成變形.很快學(xué)生就得到了變形結(jié)果“

（x-2）（y-8）=16（x>2，y>8）”

.通過探究，學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：

ax+by=k（a>0，b>0，k>0）

可以變形為

（x-ak）（y-bk）=abk2

，可以求mx+ny（m>0，n>0）這一類問題的最值.

本題的解法還有很多，比如可以令t=x+2y，則x=t-2y代入1x+2y=1

轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，也可以根據(jù)條件“

x>0，y>0，1x+2y=1

”進(jìn)行三角換元，令

1x=cos2θ，2y

=sin2θ，θ∈（0，π2）

，然后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題等.

變式訓(xùn)練：

1.已知x>0，y>0，1x+9y=1，求x+y的最小值.

2.已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0，求2x+y的最小值.

綜上可知，學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生的認(rèn)知需要才是最重要的.教師在解題教學(xué)過程中需要不斷啟發(fā)學(xué)生探究和思考，發(fā)展學(xué)生思維能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提高課堂教學(xué)的有效性.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）