三角恒等變換問題解題方法探究

周慈

摘 要：隨著新課程標準改革，三角恒等變換內容有所減少，變化也是最大的，但是在高中人教版數學學習中，三角恒等變換問題仍是三角運算的核心和靈魂內容，其內容大體包括角的變換、三角函數的名稱變換以及三角函數式結構的變換。這個考點仍是高考的重點，達到十幾分。以各個知識點并且結合例題帶領讀者們探究三角恒等變換中的教學解題方法。

關鍵詞：三角恒等變換；解題方法；探究

在高中學習三角形相關內容時，一些有關求解三角形、求值、化簡、證明等問題都經常涉及三角恒等變換知識。所以說三角恒等變換的知識在整個高中數學中是一個涉及面很廣的解題工具。并且借助三角恒等變換可以靈活多變地解三角形，掌握好三角恒等變換知識還能有利于學生數學邏輯思維能力的提升。本文就通過例題對三角恒等變換相關解題方法做以下簡單的介紹。

一、不同角之間的轉化解法探究

在三角恒等變換中，經常利用同一個角的三角函數基本關系和誘導公式來變換三角函數中的函數名稱，這樣就可以通過所謂的“切割化弦”“切割互化”和“正余互化”來改變三角函數的名稱了，實質上是一種“歸一”思想，利用這些思想將復雜難解的題轉化為簡單可解的題。

例如：在“sin（π-θ）= ，求cos2θ”，這道題看似非常簡單，給的已知條件也很少，但是考的知識點可不少。考驗了高中學生在數學方面二倍角的余弦知識，也讓學生在做題中注意到轉化思想和結合法的應用。最后還考驗了學生對誘導公式的掌握情況，屬于一道基礎轉化題。

二、sin2a+cos2a=1中“1”的解法探究

在解三角函數值時，要注意三角函數同角的三角函數正弦余弦平方和為1的這個性質，可能在審題無果后利用這個性質就可以簡簡單單地將題順利地解出來。當然要運用這個性質，就要存在這個“1”的潛意識，一旦出現明顯的字眼就可以將潛意識轉化為行動，快速地解出該題。

例如：已知α是第一象限角，且sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，則cosα的值是（ ）

A. B. C. D.

本題屬于三角函數求值問題類型，做題時可以巧妙地利用同角三角函數性質的平方和為1的性質，將cosα= 帶入到式子中，再利用轉化思想、綜合法等將這些經過簡化，得到最后結果。所以在解相關問題時要注意同角三角函數平方和為“1”的這個性質。

三、兩角和與差的關系解法探究

在對兩角和與差的關系進行考查的時候，主要會利用正弦、余弦、正切公式進行化簡和求值，并通過這些來了解其內在聯系。

例如：sin7°cos37°-sin83°cos53°的值為（ ）

A.- B. C. D.-

本題為三角函數的求值問題，主要考查了學生兩角和與差的余弦函數的運用，解題時要注意到所給式子具有的結構特點，然后再根據同角的三角函數關系把7°的正弦轉化為83°的余弦即可，同理將53°余弦轉化為37°正弦。可根據兩角和的余弦公式的逆運用得到一個已知的特殊角的三角函數值，最后得出正確答案。

四、三角方程解法探究

三角方程是三角中的重要內容，在解三角方程過程中，不僅要用到三角中的許多定理與公式，還要涉及代數式的變形與代數方程等知識，最簡單的三角方程實際上是由某角的三角函數值求角問題的延伸，是三角函數的周期性和反三角函數概念的最直接運用。

例如，在“cos6θ-5cos4θ+11cos2θ-7=0”中，本題利用三角函數的升降冪公式，將不同三角函數的角轉化為相同三角函數角，也利用三角函數的周期性和sin0=0的性質來解這個方程。這道題屬于中等題，考驗了學生對不同角的余弦的處理能力和轉化思想，還有三角函數特殊角的值，這道題對學生來說考驗了其綜合能力的應用。

總而言之，三角恒等變換中公式繁多，在運用時技巧性比較強，這就需要高中生在學習三角恒等轉換中需要牢固地記住各種三角恒等轉化公式，比如要熟記正弦、余弦定理，倍角公式、升降冪公式。在誘導公式中也有著背誦技巧，就如那句經典的“奇變偶不變，符號看象限”，這句話大大緩解了高中生學習誘導公式的壓力。

參考文獻：

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[3]李忠民.三角函數，新的命題載體[J].課堂內外（高考金刊），2016（1）.

編輯 謝尾合