淺析極坐標思想在求解拋物線問題中的應用

張小峰 吳仕棟

摘要：本文主要是從極坐標的角度來考慮焦點弦問題，尤其是當其中一個焦半徑與另一個焦半徑之間呈倍數關系時，在求解直線的方程時，運用極坐標思想可以極大地簡化運算過程，縮減運算量。

關鍵詞：極坐標；焦點弦；拋物線

一、 極坐標的概念

在平面內取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內任何一點M，用ρ表示線段OM的長度（有時也用r表示），θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對（ρ，θ）就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。通常情況下，M的極徑坐標單位為1（長度單位），極角坐標單位為rad（或°）。

二、 問題的提出

拋物線問題的求解過程中，經常會涉及求解“定長”問題，但是在很多解析幾何問題中題設條件是呈直角坐標形式，求解過程比較冗雜，不利于問題的求解。如果轉變思路，將這一類問題轉化為極坐標問題，以通俗易懂的思想替代繁雜的求解過程，將能收到良好的效果。建立極坐標系，是解決這類問題的關鍵。

三、 問題的求解及證明

假設拋物線方程為y2=2px（p>0），F為拋物線的焦點，直線l經過點F并與拋物線相交于A，B兩點，試證明：1|AF|+1|BF|=2p。

在這個題目中我們常用的方法是假設出直線l的方程為y=kx-p2，設A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），由焦半徑公式可以得|AF|=x1+p2，|BF|=x1+p2，可以算出1|AF|+1|BF|，再由x1與x2的關系就可以得證，但是這樣計算量比較大，我們可以用極坐標的思想來證明，證明如下：

令|AF|=ρ，|BF|=ρ′，∠AFH=∠BFG=θ，由拋物線的定義得ρ=|AF|=|AC|，ρ=p+ρcosθ，同理可得ρ′=p|ρ′cosθ。

ρ=p1-cosθ，ρ′=p1+cosθ

1|AF|+1|BF|=1-cosθp+1+cosθp=2p

四、 結論

1|AF|+1|BF|=2p得證，巧妙運用極坐標思想，一個復雜的圓錐曲線問題就輕松轉化為簡單的幾何問題，不僅簡化了運算步驟，更是使得學生在學習過程中提高了學習效率，達到了事半功倍的效果。這種思想也適應于這樣的問題：

在前文相同題設下，當|AF|=a|BF（a>1）|，求解直線l的方程：

由于|AF|=a|BF，所以ρ=aρ′

ρ1-cosθ=aρ1+cosθ

ρ+ρcosθ=aρ-aρcosθ

cosθ=a-1a+1

K=tanθ=2a1+a

這樣我們就可得直線l的方程：y=2a1+ax-p2。

極坐標思想在拋物線上的應用給我們帶來了很多的方便，極坐標的思想不僅僅可以在拋物線上應用，還可以推廣到圓錐曲線上，它的本質就是數形結合的思想，通過圖像觀察減少運算量。

參考文獻：

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作者簡介：

張小峰，吳仕棟，貴州省銅仁市，貴州省銅仁第一中學。