數(shù)學(xué)概念教學(xué)中思維培養(yǎng)的探索

郭天平

江西省吉安市第一中學(xué) (343000)

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，以適應(yīng)現(xiàn)代社會發(fā)展的需要.數(shù)學(xué)思維能力是指在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.學(xué)生學(xué)習(xí)新知識時(shí)，首先遇到的是概念，而要使教學(xué)能面向全體學(xué)生，概念教學(xué)這一步必須邁得更堅(jiān)實(shí).現(xiàn)就在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中如何培養(yǎng)不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，談點(diǎn)探索性建議.

一、概念追溯，根源思維，擴(kuò)大思維視野

概念是思維的細(xì)胞，反映事物的本質(zhì)屬性.它是從事物現(xiàn)象的特殊多樣性中經(jīng)過歸納，抽象概括出來的理性認(rèn)識.然而，學(xué)生從課本上學(xué)習(xí)概念時(shí)，前人尋找發(fā)現(xiàn)的歷史背景和曲折經(jīng)歷都被略去，學(xué)生只能被動地接受它們.這固然省時(shí)，但對學(xué)生思維能力的發(fā)展卻不一定都有利，因此，我們在概念教學(xué)中應(yīng)有計(jì)劃、有選擇地追溯某些概念形成的抽象思維過程，為學(xué)生模仿實(shí)踐這個(gè)思維過程做出示范，從而逐步發(fā)展學(xué)生的根源思維能力，知其然，知其所以然，使學(xué)生學(xué)習(xí)更嚴(yán)謹(jǐn).

例如通過引入高斯計(jì)算“1+2+3+……+100”的故事講解，會讓學(xué)生更容易接受等差數(shù)列的求和公式以及倒序相加法；通過引入楊輝三角使學(xué)生更容易理解和證明二項(xiàng)式定理中相應(yīng)的公式；引入笛卡爾發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)系的故事能讓學(xué)生更容易理解坐標(biāo)系的概念及坐標(biāo)法的思想；還有劉徽的割圓術(shù)、歐幾里德《幾何原本》等數(shù)學(xué)故事，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)概念、方法的故事中掌握概念，思維視野變得更廣闊了，記憶也就更深刻了；思維品質(zhì)更高了，學(xué)數(shù)學(xué)的興趣也就更濃了.

二、縱向聯(lián)系，邏輯思維，增加思維深度

人們對概念的認(rèn)識和掌握不可能一次完成，只有當(dāng)這種活動有意識地反復(fù)多次，拓展思考，逐一加深，才能更好地把握概念的本質(zhì)，同時(shí)各層次的學(xué)生在這一思維過程中，各盡所思，各有所得.

例如在“對數(shù)函數(shù)”內(nèi)容學(xué)習(xí)時(shí)，因“指數(shù)函數(shù)”與“反函數(shù)”這兩塊知識是“對數(shù)函數(shù)”的兩大支柱，可安排下列問題供學(xué)生思考：

1.利用指數(shù)公式推導(dǎo)對數(shù)公式.

2.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)對數(shù)函數(shù)性質(zhì).

3.在同一直角坐標(biāo)系下，利用指數(shù)函數(shù)圖像畫對數(shù)函數(shù)圖像，并判定當(dāng)a>1與0

4.求函數(shù)f(x)=ax+1(a>0且a≠1)的反函數(shù)并畫出圖像.

5.設(shè)函數(shù)f(x)=|logax|，存在實(shí)數(shù)m,n(m≠n)使得f(m)=f(n)，求m,n的關(guān)系.

學(xué)生通過對前三個(gè)問題的思考，大都能達(dá)到基本要求.而后兩個(gè)問題的設(shè)置，為思維能力強(qiáng)的學(xué)生繼續(xù)研究和強(qiáng)化對反函數(shù)的認(rèn)識，提供了馳騁的場所和機(jī)會.對這一概念的認(rèn)識就在這一序列的遞級的思維過程中深化，不同層次的學(xué)生的思維深度也各自都得到相應(yīng)的增加.實(shí)踐證明要培養(yǎng)每個(gè)學(xué)生獨(dú)立深入研究的習(xí)慣，提高各層次學(xué)生邏輯思維的能力，教師就要設(shè)計(jì)有遞級的問題來訓(xùn)練，實(shí)行因材施教.

三、橫向聯(lián)系，發(fā)散思維，擴(kuò)大思維廣度

學(xué)生解數(shù)學(xué)題時(shí)，思維受阻的常見原因是知識上的缺陷和思維單一、狹窄，對條件理解不充分，一碰“壁”，便不知所措.如果是學(xué)生知識上的缺陷，則可以通過學(xué)習(xí)來彌補(bǔ)；如果思維能力不強(qiáng)，教師則要有意識地去培養(yǎng)和訓(xùn)練，發(fā)展他們的思維能力.

客觀事物都是通過自身的內(nèi)在規(guī)律性而普遍聯(lián)系的，不可分割的.因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中就要強(qiáng)化概念之間的各種聯(lián)系，特別是橫向聯(lián)系，這樣就能促進(jìn)各層次學(xué)生在學(xué)習(xí)概念和解決問題中，思維發(fā)散，多渠道尋找方法，達(dá)到靈活通暢的目的.培養(yǎng)他們發(fā)散思維能力的方法主要有以下三種：

1.類比

相似是客觀事物的普遍現(xiàn)象，常見的相似現(xiàn)象既有規(guī)律、原理、方法的相似，也有形狀、結(jié)構(gòu)、外觀的相似，還有原因、結(jié)果的相似等.我們可以憑借事物的廣泛相似性來訓(xùn)練學(xué)生知識類比的能力.數(shù)學(xué)中的許多概念有類似的地方，在新概念的提出過程中，運(yùn)用類比的方法，將它與其相近的舊概念進(jìn)行類比，有利于學(xué)生從舊概念的理解遷移到對新概念的認(rèn)識，同時(shí)也有利于學(xué)生形成概念間承上啟下的思維鏈，從而形成數(shù)學(xué)概念的有機(jī)統(tǒng)一.

例如數(shù)學(xué)四種命題的關(guān)系由下表給出，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)較容易掌握它們間的關(guān)系，而在復(fù)習(xí)反函數(shù)的概念時(shí)，思維層次低的學(xué)困生在理解和運(yùn)用上還會遇到一定的困難，但如果我們把這四種命題關(guān)系的圖表結(jié)構(gòu)類比于函數(shù)與反函數(shù)，可得如下表：

這樣，這些學(xué)生對以上涉及到的四種不同形式的函數(shù)關(guān)系一目了然，對反函數(shù)概念的認(rèn)識也得到了升華，更易記難忘，運(yùn)用自如.

在新舊概念的類比過程中，既要體會它們之間的“相似性”，也要仔細(xì)甄別它們之間的“相異性”，這樣可以增強(qiáng)學(xué)生對新概念的認(rèn)識，防止新舊概念間的混淆，也有助于對新概念的記憶.例如：在學(xué)習(xí)“指數(shù)函數(shù)”的概念及圖像、性質(zhì)時(shí)，與“冪函數(shù)”的概念及圖像性質(zhì)進(jìn)行相異性對比；又如將“等比數(shù)列”與“等差數(shù)列”認(rèn)知中知識的形成過程類比；將“空間向量”與“平面向量”進(jìn)行維度延伸后向量運(yùn)算和相關(guān)定理類比.

類比可使問題形象具體，即使思維層次低的學(xué)困生，也能掌握這種思維方法，通過類比的思維訓(xùn)練能提高他們對概念的掌握，克服他們那種對思維能力發(fā)展的高深莫測、自卑畏難的情緒，拉近他們與其他同學(xué)思維的距離，從而得到同步提高.

2.逆向思維

任何事物都存在著正反兩個(gè)方面，一個(gè)問題的解決，從正面“強(qiáng)攻”不成，就從它的反面去研究，不妨改為逆向思維，反證法就是數(shù)學(xué)中常用的逆向思維方法.若能巧妙地運(yùn)用逆向思維即可使思維活躍、廣泛.如本人在講授“空間圖形的公理”一節(jié)中，學(xué)完公理2，讓學(xué)生完成書中“思考交流”幾個(gè)問題后，進(jìn)一步提出問題：判斷命題“不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線”的真假性.學(xué)生發(fā)言積極，說理不一，但當(dāng)有同學(xué)回答：這個(gè)說法是對的，因?yàn)槿舸嬖谌c(diǎn)共線，則此線和另外一點(diǎn)共面，與題意矛盾，此時(shí)有疑慮的同學(xué)也豁然清晰，感覺與優(yōu)秀同學(xué)達(dá)到了思維共鳴，因而增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感.

數(shù)學(xué)概念總是與定義、定理、公理等息息相關(guān).概念的定義有兩個(gè)作用，既是概念的判定定理，也是概念的性質(zhì)定理.例如，“直線與平面垂直”定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直，則這條直線與平面垂直.它既可以作為“直線與平面垂直”的一種判定方法，也可以作為“直線與平面垂直”的一條性質(zhì).在概念的教學(xué)中要緊扣概念的這種雙重作用，使各層次學(xué)生都有思維的基礎(chǔ)，逐漸養(yǎng)成學(xué)生正反研究問題的習(xí)慣.思維層次低的學(xué)困生的最大弱點(diǎn)是不善于設(shè)問質(zhì)疑，因此這種思維方式能較好的幫助他們掌握概念，同時(shí)也是所有學(xué)生都易于接受的一種思維方式.

3.多角度思維

正確把握數(shù)學(xué)概念，是正確解題的前提，通過解題，對概念的知識又得到了深化.然而不同層次的學(xué)生解題，思路有時(shí)也是不同的，因此，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，精心設(shè)計(jì)一些含有一題多解的典型習(xí)題，由教師啟發(fā)點(diǎn)撥，學(xué)生主動思考.如正弦定理的證明：

圖1

證法3：(等高法)可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況

學(xué)生的常規(guī)思路是用證法1、2、3，這時(shí)學(xué)生的積極性已充分調(diào)動起來，爾后教師不必過多啟發(fā)，要適時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生的思維向更廣、更高的層次發(fā)展.

證法4：利用向量證明.

證法5：利用解析幾何(坐標(biāo)法)證明.

通過證法4、5將角與向量坐標(biāo)聯(lián)系起來，概念間大跨度的橫向聯(lián)系，從而使學(xué)生的思維進(jìn)入縱橫馳騁的自由王國，解題時(shí)得心應(yīng)手，水到渠成.

教師要讓學(xué)生努力擺脫定勢思維的韁繩，引導(dǎo)學(xué)生求異思考，進(jìn)入創(chuàng)新思維，多角度地發(fā)散思維，在認(rèn)為不太可能的事中挖掘一線可能的希望，集中突破.這樣，才能對學(xué)生思維能力的發(fā)展大有裨益.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是教學(xué)過程的核心環(huán)節(jié)，也是學(xué)生知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的核心環(huán)節(jié).因此數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，教師為發(fā)展學(xué)生的思維能力而精心設(shè)計(jì)好的“知識生長過程”和“結(jié)論的發(fā)生過程”，會讓學(xué)生不僅更容易弄清概念的內(nèi)涵和外延，而且更容易明白概念與概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，使得學(xué)生的記憶更有序，理解更深刻.同時(shí)教師在概念教學(xué)中創(chuàng)造性地使用教材，會讓學(xué)生在課堂上更興奮，思維銳氣更足.教師長期堅(jiān)持這種以提高學(xué)生思維發(fā)展為核心的教學(xué)方式，能使教師自身的思維水平上一個(gè)臺階，從而站在更高的思維領(lǐng)地引領(lǐng)好學(xué)生思維.更能為原來對數(shù)學(xué)興趣不濃的學(xué)生開啟一盞思維明燈，提高其學(xué)習(xí)的主動性，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)的信心；而原本對數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生會更加熱愛數(shù)學(xué)，鉆研精神更足.

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