一道高考數列試題引發的研究性學習*

崔靜靜 趙思林

四川師范大學數學與軟件科學學院 (6100682) 四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641112)

遞推數列是刻畫遞推關系的數學模型，是研究離散型變量問題的重要工具，也是分形幾何的基礎．因此，美國的SATⅡ數學高考[1]、日本的數學高考幾乎每年都有涉及遞推數列的考題．數列求和方法是研究數列的核心知識，對學習大學里的《級數理論》尤其重要．高考數學全國卷比較重視對遞推數列和數列求和的考查．2017年高考數學全國卷Ⅲ文科第17題是一道數列試題，該題能夠激活數學思維、具有探究價值，是一道研究性學習的好問題．本文擬從試題的解題思路分析與探究、題干的遞推關系的引申和第(2)問的推廣等角度對這個題目做一番探究．

1.試題介紹

2017年高考數學全國卷Ⅲ文科第17題：

設數列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n．

(1)求{an}的通項公式；

2.試題的思路分析與探究

對于初次接觸本題遞推關系的考生來說，經歷“觀察——試算——歸納——猜想——證明——結論”過程，不難發現解題思路(結論)．事實上，

對于熟悉這類遞推關系的考生來說，運用方程思想容易直接獲解．

由a1+3a2+…+(2n-1)an=2n，知a1+3a2+…+(2n-1)an+(2n+1)an+1=2(n+1)．

3.試題的引申與推廣

引申與推廣是研究數學的重要方法．引申與推廣都可以將問題一般化，從而實現從“一個題”到“一類題”的跨越．引申與推廣可以培養學生的問題意識、探究意識和創新意識．下面對題干的遞推關系作一些引申，并對第(2)問進行推廣．

觀察和分析題干的遞推關系，可作如下引申．

評注：引申1對原題中遞推關系a1+3a2+…+(2n-1)an=2n右邊的數據作了改動，這時就需要分類討論了，顯然就比原題更難了．由于本題是解答題中的第1題，命題者為了控制難度，題目中設計的數據比較特殊，考生解答題目時不必考慮分類討論．

引申2 設a1+3a2+…+(2n-1)an=f(n)，求an．

2.1.4 對疾病認識不足 患者不良心理反應的嚴重程度與病情輕重并不一定成正相關，這主要與患者對疾病的認識有關［5］。楊鳳鳴［14］對150例 ICU 患者研究顯示，60例危重癥患者由于對突發的病情缺乏心理準備，認為自己病情嚴重會危及生命，產生十分明顯的恐懼感和威脅感。

引申3 設g(n)≠0(n∈N+)，g(1)a1+g(2)a2+…+g(n)an=f(n)，求an．

當an≠0時，有時也把an放在分母上，見引申4，看上去就會復雜一些．

引申4的解法與引申3的解法完全相仿，此處從略．

對高考試題的研究性學習，通常包括對問題結構的觀察與比較，對解題思路的分析與探究，對數學問題(命題)的引申與推廣，對數學方法的嘗試與優化等過程．

[1][美]庫(RichardKu)，[美]道奇(HowardP.Dodge)．BARRON’SSATⅡ數學(第9版)[M].北京：世界圖書出版公司北京分公司，2011：153-160.