求二元函數t=G(x,y)(F(x,y)=0)值域的本質及其意義

張玉彬

貴州省畢節市梁才學校 (551700)

已知二元方程F(x,y)=0，求二元函數t=G(x,y)的取值范圍或最值問題,實質是二元函數t=G(x,y)(F(x,y)=0)的值域問題，其中F(x,y)=0叫約束條件或叫后天定義域，t=G(x,y)叫目標函數，是一類非常基礎而普遍的數學問題，是高考的必考問題，這類問題的本質是求方程(組)的實解集(文[1])，這類問題最簡單直接的是：已知F(x,y)=0，求G(x,y)的取值范圍(最值)，如，已知正實數x,y滿足x2+y2=2x，求x+y的取值范圍，比較隱蔽而困難的是：根據題意列方程F(x,y)=0(約束條件)，t=G(x,y)(目標函數)，如，2017年全國高考卷Ⅲ理12(見后例2)等.

例1 已知實數x,y滿足x2+y2=1，求x+y的取值范圍(很能說明問題的簡單例子).

圖1

解：由g′(x)=

上述解法的本質是求G(x0,a)=

由于t=G(x,y)(F(x,y)≥0)取得最值的自變量(x,y)都在約束條件F(x,y)≥0(區域)的邊界F(x,y)=0(曲線)上，所以，t=G(x,y)(F(x,y)≥0)的最值與t=G(x,y)(F(x,y)=0)的最值完全類似，就可把約束條件是不等式(組)轉化為約束條件是方程來解決.

總之，求t=G(x,y)(F(x,y)=0)值域(最值)一般都有自然，簡單的換，消元法和方程函數法，數學教和學都應著眼于這些方法(文[2]、文[3]).

[1]熊福州，張龍躍.數學問題的根基本質是方程的解集[J].中學數學研究(江西師大),2015,8.

[2]熊福州.換元讓問題進入方程組，消元使問題在一個方程中[J].中學數學研究(江西師大),2016,12.

[3]熊福州.最基本的數學思想方法—方程思想，換(消)元法[J].河北理科教學研究，2000,4.