高考中三角形背景下的最值問題探究

朱建軍

江蘇省海門中學 (226500)

三角背景下的最值問題是高考的重點和熱點之一，近幾年江蘇高考頻繁出現此類問題.這些問題歸納起來主要有求邊的最值、角的最值、面積的最值.本文通過對高考復習教學中遇到的各類三角形背景下的最值問題的研究，多角度、多渠道探究解題方法，進一步豐富學生的解題策略，進而培養學生綜合分析問題的能力，形成良好的數學素養.

一、利用基本不等式求解

思路1：利用正余弦定理把角轉化成邊的關系，用基本不等式求最值.

思路2：利用兩角和差公式轉化成角的函數，構造基本不等式求最值.

二、利用函數思想解題

思路：求解最值問題，有時可利用函數思想，用邊長或角作為自變量轉化成某一變量的目標函數.

評注：求解最值問題或取值范圍問題，可以嘗試把所求問題轉化為函數問題，利用函數求最值的方法(如配方法、導數法等)去解題.此法雖入手簡單，但計算量較大，得分率不高.

三、利用解析法解題

思路：再解上題2，本題還可采取解析法，建立直角坐標系，通過曲線與方程的關系轉化為阿波羅尼斯圓，進而求出高.

評注：此題為2008年江蘇省高考填空題，實際上是用三角形作為包裝條件，本質考查的是阿波羅尼斯圓的知識，此題用本文中的函數法來解，就非常復雜，而且運算量較大.阿波羅尼斯圓的知識來源于書本，由此可見書本上的習題和例題是我們上課的有效資源，應充分利用和挖掘，要讓學生體會到高考試題來源于書本.

四、利用判別式法求解

題3 在ΔABC中，已知AB=2,AC2-BC2=6，則tanC的最大值是 .

總之，三角形最值問題是高考考查的重、難點之一.高考中此類問題綜合性強，解法靈活.考查注重與函數、不等式、幾何等知識的融合.求解時，需要結合函數、基本不等式、正余弦定理、平面圖形的幾何性質等相關知識，充分運用數形結合、函數與方程等數學思想方法，實現幾何問題與代數問題的有效轉化.