一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南賽區(qū)預(yù)賽題的探究

張 慧 于興江

山東聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (252000)

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是一類非常重要的題型，近年來的高考題多次考察定點(diǎn)問題.基于此,筆者利用幾何畫板對(duì)2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南賽區(qū)預(yù)賽的第13題進(jìn)行了探究.

(1)求橢圓C的方程;

(2)聯(lián)結(jié)AE、BD，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否交于定點(diǎn)?若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)并給予證明；否則，說出理由.

根據(jù)原題給出了圓錐曲線的定點(diǎn)問題的幾個(gè)結(jié)論.

圖1

定理2、定理3的證明方法與定理1類似，不再一一贅述.

由定理1，2,3可得

圖2

定理4 設(shè)圓錐曲線C，直線l經(jīng)過圓錐曲線C的(右)焦點(diǎn)F，與圓錐曲線C交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、F、B在(右)準(zhǔn)線上的射影依次為D、K、E.則對(duì)于任意直線l，直線AE與BD相交于線段FK的中點(diǎn)G.以雙曲線為例，如圖2所示.

比較定理1與定理4的證明方法可以發(fā)現(xiàn)，定理4用幾何方法證明更加簡便.定理4用圓錐曲線的第二定義(平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡)和初中所學(xué)的相似三角形的性質(zhì)就可以證明.可見用幾何方法解決這類問題較為簡便，但不容易想到.

[1]2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南賽區(qū)預(yù)賽[J].中等數(shù)學(xué)(天津),2017,6.35.

[2]柳俊婷,于興江.2015年山東理科第20題的多解分析及探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2015,8.

[3]姜曉潔,于興江.對(duì)2015年北京高考數(shù)學(xué)理科19題的推廣研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2016,4.