分離函數法在解題中的應用

曾建強

江西省萍鄉市教研室 (337000)

解決形如F(x,a)類問題，通常利用分離參數法，將原式變形為變量與參數各在一邊的f(x)≥a或f(x)≥g(a)等形式，從而求解，已為熟知的解題通法．而有一些含參數的問題其參數a不能從解析式F(x,a)中分離出來，或F(x,a)中常為含兩個超越函數的關系，解決時由于不同類超越函數不便變形化簡研究性質，可嘗試用分離函數的方法來處理．

所謂分離函數法，是指將同一關系F(x,a)中的兩類不同函數(尤其是兩不同超越函數)分離開來或把問題分離成f(x),g(x,a)(或f(x,a),g(x,a))兩類關系來分別處理的方法．分離函數法，主要是利用分離后的兩函數的最值性質來解．

分離函數方法是高中數學中“新興”的一種解題方法，這里舉幾例以饗讀者．

一、不同變元的分離函數

對一個關系式中有兩不同變元，由于兩變元的獨立性，故分離出不同變元的兩函數進行研究勢在必行．

二、單式中的分離函數

對一個變量的問題，往往容易從單式的整體著手研究，但將單式分離成兩個不同函數分別研究，這種思路比較隱蔽，卻也是一法．

例2 證明：x∈R，a≤1時，xex+a+x2-2x+1>0．

分析：將不等式左邊看成是一個函數，至少要求二階導數才有可能確定它的值域，事實上仍很困難．如果將一個函數分離成兩個函數，突破f(x)=xex+a求導產生的難點，也是處理問題的一策．這種化整體為多個體的策略，有時還很奏效．

證明：要證原式，通過分離函數，即證xex+a>-(x-1)2．①

當x>0時，xex+a>0,-(x-1)2≤0,顯然①式成立．

當x≤0時，f(x)=xex+a的導數f′(x)=(x+1)ex+a，易得f(x)min=f(-1)=-ea-1．

而g(x)=-(x-1)2(x≤0)的最大值為g(0)=-1．

由于a≤1，有ea-1≤1，且兩函數不在同一處取到最值，故x≤0時xex+a>-(x-1)2．

綜上，原不等式成立．

三、不同兩類基本函數的分離

含不同兩類基本函數相對較復雜，且常是不同類超越函數的復合函數，就是利用導數這個有力的工具，有時也難避免由于導數的復雜性使得求解中途受阻.化繁為簡是我們常用的思路，尤其對兩個超越函數的混合型函數更加突出，分離函數就顯得尤為重要．

(Ⅰ)求a,b；(a=1,b=2解略．)

(Ⅱ)證明：f(x)>1.

綜上，當x>0時，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

四、重組后的分離函數

對一些問題，表面看兩個函數已明顯地分離開來了，但分別獨立研究卻難達目的，此時，我們對問題中的函數重組后分離成比較單一的同名復合函數，這對研究更加有利．

(Ⅱ)若0≤x≤1，f(x)

(2)s′(x)=xe2x-e2x-axex+aex=ex(x-1)(ex-a)．∵x∈[0,1]，∴x-1≤0,ex∈[1,e]．

②若10，此時s(x)為增函數；在(lna,1]上s′(x)<0，此時s(x)為減函數．

五、分離參數后的分離函數

研究含參數的問題，分離參數是常法．分離參數后的函數也可以再通過分離函數去求解．這種方法也可稱為雙分離法．

v′(x)=e3x-2e2x-ex+2=(e2x-1)(ex-2)，當x<0,x>ln2時，v′(x)>0，

∴v(x)在(ln2,ln3)上為增函數,在(0,ln2)上為減函數．

分離函數法，較適合不同類超越函數基本性質的研究．理論上講，若分離后的兩類函數在一定范圍內的上確界、下確界存在明顯的分界點，用分離這兩類函數分別運算求解，常能奏效．