例析向量在解析幾何解題中的應(yīng)用*

張媛媛 郭建華

江蘇省南京市第二十九中學(xué) (210036)

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角的一種工具.關(guān)注向量，不僅讓學(xué)生掌握一種新的數(shù)學(xué)工具，而且還可以幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)部聯(lián)系，以及借助于向量的相關(guān)知識(shí)解決一些問(wèn)題.特別是解析幾何題，由于自身的特點(diǎn)與向量聯(lián)系特別密切，試題中也經(jīng)常用向量的形式呈現(xiàn)一些數(shù)量關(guān)系和描述圖形特征，無(wú)形中為題意的理解帶來(lái)障礙，如何才能掃清這些障礙，只有更多的關(guān)注向量意識(shí)和不斷總結(jié)用向量解題的方法以及其解決問(wèn)題的模式化方法，才能真正突出向量的工具性，實(shí)現(xiàn)化解解析幾何的危機(jī)，并讓它成為解決解析幾何問(wèn)題成為一大亮點(diǎn).更重要的是要不斷反思和比較，尋求更簡(jiǎn)潔和合理的運(yùn)算途徑，掌向坐標(biāo)意識(shí)和基底意識(shí)在求解向量問(wèn)題中的應(yīng)用技巧，現(xiàn)舉例如下，以期達(dá)到舉一反三的效果.

圖1

思路分析1:平面向量遇見(jiàn)解析幾何，數(shù)形結(jié)合利用直線與圓的位置關(guān)系、向量的線性運(yùn)算法則與解三角形等知識(shí)，由題意可得矩形PMQN中，對(duì)角線PQ的長(zhǎng)在PMQN為正方形時(shí)達(dá)到最小值.

思路分析2:平面向量遇見(jiàn)解析幾何，數(shù)形結(jié)合利用直線與圓的位置關(guān)系求解出M點(diǎn)的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)間距離公式求得PM的長(zhǎng)度.

思路分析3:平面向量遇見(jiàn)解析幾何，數(shù)形結(jié)合利用圓的幾何性質(zhì)求出弦MN中點(diǎn)T的軌跡方程，OT最大即弦心距最大時(shí)，弦長(zhǎng)MN最小.

圖2

思路分析1:平面向量遇見(jiàn)平面幾何三角形，可以先根據(jù)條件得到RtΔABC特征，然后再考慮利用三點(diǎn)共線條件建立x,y之間關(guān)系找到基本不等式，轉(zhuǎn)化為λ的二次函數(shù)求解.

思路分析2:平面向量遇見(jiàn)平面幾何三角形，可以先根據(jù)條件得到RtΔABC特征，然后再考慮利用三點(diǎn)共線的推論求解出x,y關(guān)系再用基本不等式求解.

點(diǎn)評(píng):求解平面向量的有關(guān)問(wèn)題，通常有兩種處理方法：一是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)加以解決；二是選擇兩個(gè)不共線的向量作為基底，通過(guò)將所有的向量轉(zhuǎn)化為基底的方法來(lái)加以處理.一般情況下，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)可操作性強(qiáng)，而運(yùn)用向量的基底時(shí)對(duì)思維的要求較高.平面向量遇見(jiàn)幾何問(wèn)題，往往需要數(shù)形結(jié)合通過(guò)幾何性質(zhì)運(yùn)用解析幾何知識(shí)求解效果甚佳.

高三習(xí)題的講和評(píng)，不僅讓學(xué)生獲得具體問(wèn)題的解法，而且讓他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)和解題方法的掌握[1].讓學(xué)生從解題中學(xué)會(huì)思考，讓學(xué)生在解題中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過(guò)教師的精心設(shè)計(jì)和講評(píng)從而使學(xué)生的解題達(dá)到舉一反三的效果.

[1]郭建華.為學(xué)生創(chuàng)造“微探究”的機(jī)會(huì)[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2017(7)：7-10．