王在方

6.圓錐曲線極點和極線的視角
極點與極線是射影幾何中研究圓錐曲線內在性質的基本理論,各地的高考試題中以此為背景的題目屢見不鮮.雖然在高考課標中沒有要求,但作為圓錐曲線的一種基本特征,教師了解一些極點、極線理論,可以從較高的觀點去把握試題,有利于中學教學.對于學生,掌握一些基本的結論,有利于降低一些圓錐曲線大題的計算難度,對有些圓錐曲線小題,會有非常簡潔的處理方法,在高考過程中能節約寶貴的考試時間.
(1)圓錐曲線極點和極線的定義:已知圓錐曲線,則稱點和直線是圓錐曲線的一對極點和極線。
(2)極點和極線的基本結論
定理2 ①當在圓錐曲線上時,則極線是曲線在點處的切線;(限于篇幅,證明略)
②當在圓錐曲線外時,則極線是曲線從點所引兩條切線的切點所確定的直線(即切點弦所在直線)。(限于篇幅,證明略)
③當在圓錐曲線內時,則極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡。(限于篇幅,證明略)
定理3 設為拋物線的焦點弦,則過切點,的的切線的交點軌跡是它的準線;反過來,由拋物線的準線上任一點引拋物線的兩切線,切點為、,則為焦點弦。
定理4 拋物線的兩條互相垂直切線的交點的軌跡是它的準線;反過來,由拋物線的準線上任一點引拋物線的兩條切線互相垂直。
解法⑦:由已知,為焦點弦,在準線上,又,可得、是拋物線的兩條切線,所以極線為,即,所以。
二、解法評析
解法①②綜合利用向量,直線與圓錐曲線位置關系,通過聯立方程,韋達定理建立直線斜率的方程,得到,方法常規簡單,易于想到,屬于通性通法,但計算量偏大;解法①與解法②主要區別在直線方程的設法,主要考慮拋物線的開口方向,在很多問題中,計算量有明顯差距;解法③利用拋物線的定義,梯形的性質,三角形全等的證明得到,從而得到,計算量非常小,但平面幾何的知識要求較高;解法④是平面幾何與解析幾何的綜合運用,是解法②③的綜合;解法⑤利用拋物線以焦點弦為直徑的圓與拋物線準線相切的結論直接得出,從而解出,大量的減少了論證過程;解法⑥運用圓錐曲線中點弦問題中的點差法,通過兩個方程相減,得到直線斜率與弦中點坐標間的關系,即,再由解法⑤可得,從而快速的出;解法⑦運用極點與極線的理論,一步可以得出答案,這是最快的一種方法。.