一道高考試題的解析與感悟

王在方

6.圓錐曲線極點和極線的視角

極點與極線是射影幾何中研究圓錐曲線內在性質的基本理論，各地的高考試題中以此為背景的題目屢見不鮮.雖然在高考課標中沒有要求，但作為圓錐曲線的一種基本特征，教師了解一些極點、極線理論，可以從較高的觀點去把握試題，有利于中學教學.對于學生，掌握一些基本的結論，有利于降低一些圓錐曲線大題的計算難度，對有些圓錐曲線小題，會有非常簡潔的處理方法，在高考過程中能節約寶貴的考試時間.

（1）圓錐曲線極點和極線的定義：已知圓錐曲線，則稱點和直線是圓錐曲線的一對極點和極線。

（2）極點和極線的基本結論

定理2 ①當在圓錐曲線上時，則極線是曲線在點處的切線；（限于篇幅，證明略）

②當在圓錐曲線外時，則極線是曲線從點所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）。（限于篇幅，證明略）

③當在圓錐曲線內時，則極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡。（限于篇幅，證明略）

定理3 設為拋物線的焦點弦，則過切點，的的切線的交點軌跡是它的準線；反過來，由拋物線的準線上任一點引拋物線的兩切線，切點為、，則為焦點弦。

定理4 拋物線的兩條互相垂直切線的交點的軌跡是它的準線；反過來，由拋物線的準線上任一點引拋物線的兩條切線互相垂直。

解法⑦：由已知，為焦點弦，在準線上，又，可得、是拋物線的兩條切線，所以極線為，即，所以。

二、解法評析

解法①②綜合利用向量，直線與圓錐曲線位置關系，通過聯立方程，韋達定理建立直線斜率的方程，得到，方法常規簡單，易于想到，屬于通性通法，但計算量偏大；解法①與解法②主要區別在直線方程的設法，主要考慮拋物線的開口方向，在很多問題中，計算量有明顯差距；解法③利用拋物線的定義，梯形的性質，三角形全等的證明得到，從而得到，計算量非常小，但平面幾何的知識要求較高；解法④是平面幾何與解析幾何的綜合運用，是解法②③的綜合；解法⑤利用拋物線以焦點弦為直徑的圓與拋物線準線相切的結論直接得出，從而解出，大量的減少了論證過程；解法⑥運用圓錐曲線中點弦問題中的點差法，通過兩個方程相減，得到直線斜率與弦中點坐標間的關系，即，再由解法⑤可得，從而快速的出；解法⑦運用極點與極線的理論，一步可以得出答案，這是最快的一種方法。.