高中二次函數解題中數學思想的運用分析

溫嘉寧

二次函數是高中數學學習的重點內容，也是難點內容，需要高中生具備較強的思維能力與理解能力，不僅增加了高中生學習數學的壓力與難度，同時也降低了他們學習數學的興趣，為教師教學帶來了眾多不利影響。而將數學思想運用在二次函數解題當中，能夠在換元、聯想以及對稱分析等的基礎上，降低高中生對題目的理解難度，因此，對于高中生來說，應該增強對數學思想的重視，并在此基礎上對其進行合理運用。

1對稱思想應用

對稱思想是數學思想的重要組成部分，對二次函數解題具有重要意義，是高中生學習二次函數的“得力助手”。對稱思想在二次函數解題中的應用主要體現在函數圖像方面。函數圖像是高中生學習函數的重點內容，在分析函數圖像的基礎上，能夠對其特點、變化規律以及相關性質等進行有效掌握，通過直觀圖像對抽象函數進行展示，既可以增強高中生對二次函數的認識，又能夠確保他們的答題質量。另外，在解題過程中對函數圖像進行有效運用，能夠拓寬高中生的解題思路，可以對他們的理解能力以及思維能力等進行有效培養。從本質上來講，對稱思想屬于數形結合思想，在數形結合的基礎上，對答案進行準確、快速地獲得。

比如對于這道二次函數題：y₁與y₂是兩條拋物線，并且位于y=2a²-8a+3的函數圖像中，和y軸以及x軸等相互對稱，求y₁和y₂兩條拋物線的解析式。

從這道函數題中我們可以知道，并沒有提供和求解有關的信息，所以我們需要結合題目已知條件，將函數圖像對稱作為出發點。首先，我們需要轉化已知條件，在解析式求解過程中對其進行有效運用，對函數頂點進行明確，對函數進行進一步整理，我們可以得到y=2a²-8a+3=2（a²-2）²-1，在此基礎上獲得函數頂點坐標（2，-1），之后結合題意進行深入分析，再結合二次函數圖像知識，就可以獲得相應的解析式，其中y₁=2（a²-2）²+1，y₂=2（a²+2）²-1。

2聯想思想應用

聯想思想和對稱思想以及換元思想等數學思想不同，在對其進行應用時，需要高中生具備較高的思維能力，這種解題思想的應用效果比較好，在高中生解題以及學習中應用的也比較廣泛，在二次函數問題解決過程中，對聯想思想的應用主要表現為：根據題目中的已知條件，再結合二次函數基礎知識，對題目求解展開聯想。所以高中生在對這種數學思想進行應用時，需要仔細審題，對已知條件、二次函數知識以及求解等進行明確，對已知條件所隱含的信息進行充分挖掘。從目前高中數學二次函數的學習情況來看，高中生比較喜歡在不等式求解當中對聯想思想進行運用，對不等式、等式等進行聯想，讓二者進行自由轉換，進而對答題效率以及答題質量等進行有效保障。

比如，對于下面這道二次函數題：已知f（x）=ax²+bx+c，且a不等于零，f（x）-x=0，只有x₁與x₂兩個解，且這兩個值必須符合012<1，請證明當時，x2。

從這道函數題目當中我們可以了解到，已知條件比較有限，因此需要對已知條件進行深入分析，在此基礎上進行聯想，最后再對題目進行解答。題目中的已知條件為f（x）-x=0，我們可以將其轉換成f（x）=x，之后根據二次函數圖像相關知識，可以知道該圖像和y=x在第一象限內的交點不同，之后對函數進行進一步整理，可以得到f（x）=ax²+（b-1）x+1=0，接下來根據已知要求以及韋達定理，可以獲得f（0）1），最后利用二次函數圖像，就可以對結論進行準確證明。

3換元思想應用

換元思想屬于數學思想的典型代表，對這種方法進行有效運用，能夠簡化算式，可以大幅度提高高中生答題的準確率。從本質上來講，換元思想實際上是一種變量代換法，也就是利用換元思想對復雜等式進行簡化，讓其變成簡單的函數，再通過方程式，對答案進行快速獲得。

比如，對于下面這道二次函數題：已知7/14a11/2，求解2a-3+的最小值。

在對這道題進行解答時，我們就可以對換元思想進行合理運用，在此基礎上探尋解題思路。我們可以設y=2a-3+，再根據已知條件，就能夠獲得23，接下來可以將當成一個整體，并設其值為b，將b帶入到式子當中，可以得到a=（b²+13）/4，之后將a帶入到y=2a-3+當中，再經過一些整理，就能夠得到y=1/2（b+1）²+3，當b-1時，函數值會隨著b的增大而增大，當b=2時，函數值最小，將b值帶入到公式當中，就會得到函數的最小值為15/2。

結論：總而言之，高中生要想對二次函數解題的準確率進行有效保障，就必須意識到數學思想對函數學習的重要性，在解題過程中，結合題目實際情況，對對稱思想、聯想思想以及換元思想等數學思想進行靈活運用，培養自己的思維能力與理解能力，在數形結合、聯想分析、合理換元的基礎上，節約答題時間，提高答題質量，進而提高自己的數學成績。

（作者單位：山東濱州實驗中學）