“對稱性”在古典概型中的應用

左亦丹 劉麗蓉

【中圖分類號】G633.6；G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）17-0153-01

古典概型即滿足試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個且每個基本事件出現的可能性相等的概率模型。而在這些等可能的基本事件中，如果存在結構完全一致，處于對稱、平等的地位兩個基本事件，那么稱這兩個事件為對稱事件。我們可以通過對基本事件對稱性的判斷，可獲得解決問題的簡潔的思路，收到意想不到的效果。

例1 n對戀人任意的排成一列，出現每一位男友剛好都排在其女友后面（可以不相鄰）這一事件的概率大小如何？

分析：如果我們按一般方法處理，那么基本事件的結構是2n個人的一次排列，因此基本事件總數為（2n）！。所關心的事件的結構特點是“每位男友必排在其女友之后”，對此結構作“乘性剖分”：先把n位男子進行排列，有n！種可能，對每種這樣的排列再按前后順序逐一安排相應女友的“超前”位置，由乘法原理知有利的基本事件數為：

n！·（1·3·5……（2n-1））=n！（2n-1）！！

從而知所求概率為=。

如果我們注意到研究簡單事件“第i對戀人，男友在女友后”對稱于簡單事件“第i對戀人，女友在男友后”，再兼顧其互逆性，知第i對戀人，男友在其女友后的概率為P=。

如記Ai表示第i對戀人，男友在其女友后這一事件，則我們所關心的事件為Ai，因為任一對戀人的位置不會影響其他對戀人的位置安排，故而相對獨立。

從而P（Ai）=P（Ai）=

對于兩個等可能事件是否為對稱事件，我們不能從某種特殊情況或所謂的經驗來判斷，要根據事件之間的關系及問題的本質來判斷，同時還要特別注意兩個對稱事件是互逆的關系，即它們不能同時發生。我們仍通過實例來討論這個問題。

例2 甲、乙兩個人擲均勻硬幣，其中甲擲n+1次，乙擲n次，求“甲擲出正面的次數大于乙擲出正面的次數”這一事件的概率。

分析：由于硬幣的均勻性，投擲的隨機性，因此基本事件的出現是等可能的。不妨記：甲正=甲擲出正面的次數，甲反=甲擲出反面的次數，乙正=乙擲出正面的次數，乙反=乙擲出反面的次數。我們現在需要考慮的是事件（甲正>乙正）的概率。

現在我們來考慮事件甲正>乙正與事件甲反>乙反之間的關系：

Ω-（甲正>乙正）=（甲正≤乙正 ）=（甲反>乙反） （*）

但由于硬幣是均勻的，投擲是隨機的，事件（甲正>乙正）與事件（甲反>乙反）完全處于對稱、平等的地位，相應的概率應該相等，即

P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）

由（*）式，通過概率的性質，即得

P（甲正>乙正）=

此例的求解巧妙地應用了事件間的對稱性，但“對稱性”的應用，此地得通過（*）式，判明事件（甲正>乙正）與事件（甲反>乙反）互逆。初學者易于忽視對對稱事件進行互逆關系的判斷，請看下例。

例3 甲、乙二人投擲均勻硬幣，其中甲擲（n+2）次，乙擲n次，求“甲擲出正面的次數大于乙擲出正面的次數”這一事件的概率。

如果仿照通上面解題思路來考慮，那么對稱性知

P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） （1）

且

Ω-（甲正>乙正）=（甲正≤乙正 ）=（甲反>乙反）（2）

由（1）、（2）即得

P（甲正>乙正）=

但是，此解答是錯誤的。

上面的解答為何是錯誤的？是什么原因造的呢？

我們以甲擲（2+2）次，乙擲2次為例來分析一下。

甲正>乙正包含以下幾種情形：

1.甲擲出三反一正，乙擲出兩反，其概率為

C（）·C（）=

2.甲擲出兩反兩正，乙擲出一正一反、兩反，其概率為

C（）[C（）+C（）]=

3.甲擲出一反三正，乙擲出兩反、一反一正、兩正，其概率為

C（）[C（）+C（）+C（）]=

4.甲擲出四正，乙擲出兩正、一正一反、兩反，其概率為

C（）[C（）+C（）+C（）]=

所以P（甲正>乙正）=+++=≠

造成錯誤的原因是什么呢？先來看P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）是否成立。由于事件（甲正>乙正）與事件（甲反>乙反）完全處于對稱平等的位置，因此，（1）式是成立的。事實上，用同樣的方法可算出P（甲反>乙反）=.

再來看Ω-（甲正>乙正）=（甲正≤乙正 ）=（甲反>乙反）是否成立。

在上面的特例中，對于第一種情況，即甲擲出三反一正，乙擲出兩反的有利于的事件（甲正>乙正），但同時又有利于事件（甲反>乙反），這說明

Ω-（甲正>乙正）=（甲正≤乙正 ）≠（甲反>乙反）

對一般情況，甲-乙=（n+2）- n=2，此時

事件（ 甲正>乙正）與事件（甲反>乙反）不互逆。

事實上，由（甲正-乙正）+（甲反-乙反）=2，若事件（甲正>乙正 ）發生，則甲正-乙正≥1，特別當甲正-乙正=1時，得甲反-乙反=1，即事件（甲正>乙正）發生。

所以（甲正>乙正）∩（甲反>乙反）≠？準，從而說明Ω-（甲正>乙正）≠（甲反>乙反）。

因此事件（甲正>乙正）與事件（甲反>乙反）僅滿足“對稱性”關系而不滿足“互逆”關系。

因此，利用“對稱性”對于古典概率問題進行計算時，一定要判斷兩個對稱是否滿足互逆關系，否則將可能導致錯誤。

綜上，我們在解答古典概型的有關問題時，充分注意到某些事件之間的對稱性，無疑在產生簡潔的思路、簡便的計算是大有好處的，一定不能忽視它們之間的互逆關系。