層階式提升，遞進式生長*
——“相似三角形的性質”習題課設計與分析

☉江蘇蘇州中學園區校 許 彬

一、寫在前面

習題是數學知識的重要載體，是數學思想、方法生長的起點.數學習題課是數學課的一種重要課型，它的主要任務是鞏固數學基礎知識，形成熟練的技能、技巧，發展學生的思維能力，提高問題的解決能力［1］，因此在設計習題課時，選擇的題目要具有較強的目標性，題組之間要具有連貫性，要有利于學生形成知識系統，要有利于數學學習能力和思維的迅速發展.

不久前，在市教育局舉行的送教活動中，筆者執教了蘇科版教材九年級下冊“相似三角形的性質”習題課，本節課的題組設計低入高出，通過對一道題的系列變式，層階式推進訓練，遞進式助力學生發展，受到與會教師的一致好評.現將習題設計和思考予以呈現，與各位同仁分享與交流.

二、習題設計及分析

心理學研究表明“知識只有組織成系統，才會被學生迅速、準確而牢固地掌握并遷移，而這個系統應該是有序的、有層次性的”.因為本節習題課安排在剛剛新授了“相似三角形的性質”之后，是為了掌握新知，鞏固技能，所以筆者將其定位為使學生掌握知識、形成能力，并將新知融入初中數學體系的“形成性習題課”.因此，本節課的題組構成是“低起點，高立意”，決定采用“一題多變”的訓練形式，分層次、分階段推進，在變式中逐漸提高學生分析問題、解決問題的能力，具體設計如下：

1.層階一：知識整合.

引題：如圖1，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，若△ABC的BC邊上的高為6，面積為24，求EF邊上的高及△DEF的面積.

變式1：若將△DEF平移使得點D與點A重合，點E、F分別落在邊AB和AC上，那么例題中的“AB＝2DE，AC＝2DF”可以改成“________________”，問題依然可求.

變式2：如圖2，EF是△ABC的中位線，連接BF、CE交于點M，若S△MEF＝1，那么還能求出哪些圖形的面積？請說明理由.

圖1

圖2

設計分析：“相似三角形的性質”重點學習了“相似三角形周長比等于相似比，面積比等于相似比平方，對應線段的比等于相似比”，是后續學習“圖形位似”“銳角三角函數”等知識的重要基礎，因此起始題起點較低，重在知識整合與關聯，又兼顧可延伸性.根據原題中兩三角形邊之間的特殊關系，將三角形的中位線導入，變式1既關聯了三角形中位線性質，又為變式2、3做鋪墊.變式2被設計為一道開放題，給學生留出充分的思考空間，例如：S△BMC、S△BEM、S△MCF、S△BEC、S△BFC等，是對相似三角形的性質全面、靈活的運用.

2.層階二：提升訓練.

變式3：如圖3，EF是△ABC的中位線，邊BC＝8，BC邊上的高AD＝6，若以EF為一邊作正方形EFGH，求GH與BC之間的距離.

變式4：如圖4，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，點E、F分別在AB、AC上，點G、H在BC上，當四邊形EFGH是正方形時，求EF的長.

圖3

圖4

變式5：如圖5，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，點E、F分別在AB、AC上，點G、H在BC上，當四邊形EFGH是矩形，且EF＝2EH時，求EF的長（或求矩形EFGH的周長）.

變式6：如圖5，在△ABC中，BC=8，高AD=6，點E、F分別在AB、AC上，點G、H在BC上，當四邊形EFGH是矩形時，求S矩形EFGH的最大值.

圖5

圖6

設計分析：變式3沿著變式2順勢而上，以中位線為邊作正方形，由中位線EF與邊BC的關系，能知道EF到BC邊的距離，從而可以求得GH與BC之間的距離，正方形的相關性質就順利進入問題，為變式4埋下伏筆.變式4可以看作前題中正方形的動態上移，根據EF∥BC得到△AEF∽△ABC，再根據相似三角形對應邊上高的比等于相似比解決問題.變式5是將變式4中的正方形一般化，變為一般形式下的矩形，在附加條件的協助之下解決問題.變式6在變式5的基礎上設計為一道探究題，是變式5的拓展，但數學思維量和能力要求要遠大于變式5，是檢驗學生解決問題的能力和小組合作學習能力的有效時機，同時二次函數知識堂而皇之地走入了解題過程，為變式7做足了熱身準備.

3.層階三：形成能力.

變式7：如圖6，在△ABC中，BC=8，高AD=6，點E、F分別在AB、AC上，點G、H在BC上，當矩形EFGH的面積最大時，該矩形以1cm/s的速度沿射線DA勻速向上水平運動，（當GH到達A點時停止運動），設運動的時間為t，矩形EFGH與△ABC重疊部分的面積為s，求s與t的函數表達式，并寫出t的取值范圍.

圖7

圖8

設計分析：為了檢驗學生綜合運用知識的能力及解決問題的能力，以變式6的結論為基礎設計了變式7.這是二次函數的動態類問題，需要運用分類、類比、化歸、數形結合等數學思想方法，對學生的動腦和動手能力均具有挑戰性.從變式6可知，當矩形長EF是△ABC的中位線時面積最大，即EF=4，EH=3時，顯然當 0≤t≤3時，矩形與三角形重疊部分如圖7中的陰影部分，可以把陰影部分分割為梯形+矩形MNGH，用t表示s的函數為s=

EFGH與△ABC重疊的部分為三角形，如圖8，用t表示s

三、思考

G·波利亞說“中學數學教學的首要任務就在于加強解題能力的訓練”，習題課則在絕大多數時刻承載著這樣重要的訓練使命.在習題課設計之前，教師要清楚學生已有的知識；要有明確的訓練目標；還要有預期達到的訓練效果；明確遵循何種認知規律引導學生，將采取哪種有效訓練形式.

筆者在設計本課例時，首先思考的是如何設置題組才能調動起學生學習的積極性、主動性.基于這節課是新授課之后的習題課，決定設計為以教師為主導的“一題多變”訓練形式.變式是讓學生運用所學知識從不同的角度、不同層次解決問題，前后式之間邏輯緊密，環環相扣，解題的思維要求逐漸抬升，總給學生一種“跳一跳摸得著”的感覺，用挑戰性驅動個人學習的積極性；變式還能夠使學生準確地掌握數學知識，掌握一類問題的解法，有利于培養學生綜合運用知識的能力，觸類旁通的能力，更能大大提升課堂教學效率.其次，筆者結合學生已經學習掌握了“相似三角形的判定”“二次函數”等數學核心知識，同時還要為后續學習圖形位似、銳角三角函數做知識儲備，所以選擇一道低起點但有較強延伸性的基礎題，通過對這道基礎題的若干變式，對學生的數學解題能力、數學思維、探究能力都予以訓練和提升，這樣的設計有較強的針對性、關聯性、整合度，對相似圖形知識的運用由“熟”到“透”！

數學是思維的體操，習題課對數學思維的訓練適宜邁小步“趁勢上臺階”［2］，本課例的題組設計就采用了層階式訓練方式.層階一是針對剛剛新授的“相似三角形的性質”，是基礎性訓練，達到熟悉知識、熟練技能的目的；層階二是把已經學習過的“相似三角形判定”“二次函數”等核心知識與“相似三角形的性質”綜合運用，這種設計是在學生已有的知識儲備基礎上進行的，對個人能力的要求合情合理；層階三是依托變式6的結論拓展而成，在考查學生解題能力的同時，滲透數形結合、分類討論、類比等諸多數學思想方法.縱觀整體設計，符合學生認知水平的遞進式生長，解題能力的層階式上升，從學生已有的知識經驗入手，實現了知識的正向遷移，有利于解題活動經驗的積累.

參考文獻：

1.肖柏榮.高中數學典型課示例［M］.北京：人民教育出版社，2001.

2.王永生.基于教材的數學習題課教學的理論與實踐［J］.中學數學（上），2015（4）.