“退步思考”法在數學解題中的應用

☉江蘇省蘇州工業園區婁葑學校 彭聰聰

引例是否存在平方和等于1600的兩個自然數？

設滿足條件的兩個自然數分別為x，y，則x2+y2=1600.

或許你會想到從簡單自然數的平方和入手：12+22=5，22+32=13，32+42=25等.可1600這個數字有點大了，想把它拆成兩個自然數的平方和并不是一件容易的事.能否把1600變小些？比如變成5或13或25等這些比較小的數，

變換稱為二元代換.若將x=u+v，y=u-v代入x2+y2=1600，得（u+v）2+（u-v）2=1600.整理得u2+v2=800.

我們發現，雖然仍是平方和形式，但常數減小了一半，這可是個可喜的兆頭！我們不妨如法炮制下去.

上面在求x2+y2=1600的自然數解的過程中，通過二元代換這個數學手段，不斷地將原方程的常數項減半，使原方程變得越來越簡單，變得一眼就可以看出它的自然數解，這實際是一種退步思考問題的方法.

遇到一道較難的數學問題，我們應該怎么辦？我國著名數學家華羅庚告誡我們：一個好的辦法是“退”，從一般退到特殊，從復雜退到簡單，退到你會做、能下手的問題上.我們把這種思考數學問題的方法叫做“退步思考”法.華羅庚的“帽子問題”是就是一道利用“退步思考法”解決數學問題的典范.正如我們在跳遠的時候，為了跳得更遠，我們在跳遠時總要從沙坑邊后退一段，然后再起跳.表面上看往后退離目標更遠了，這樣做正是為了跳得更遠，是“以退為進”.下面我們通過實例說明“退步思考”法在數學解題中的應用.

一、從圖形一般位置退到特殊位置

許多幾何問題給出的圖形都具有一般性，蘊含在其中的數量關系和位置關系并不明顯.我們不妨先退一步，用一些幾何變換手段，使某些基本圖形到達某一特殊位置，以便尋求其中的數量關系和位置關系，并由此獲得啟發，進而找到解決問題的思路和方法.

例1 如圖1，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點，則AD∶BE的值為（ ）.

本題的常規解法是從“O為BC、EF的中點”這個條件入手.連接AO、DO，如圖2所示.

圖1

圖2

因為△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點，

這種解法顯然比較麻煩.不妨取BC⊥EF的情形.

因為△DEF為等邊三角形，O為EF的中點，

所以DO⊥EF.

所以點D必然在BC上.再取點D與C重合，如圖3.

在Rt△BOE中，∠BOE=

圖3

設OE=1，則BE=2，BO=，所以AD=BC=.所以AD∶BE=

這樣求解顯然簡捷，這得益于我們將一般圖形變為特殊圖形，以便利用特殊的邊、角關系求解，同時也便于我們找到本題的一般解題思路和方法，體現了以退為進的解題策略.

二、從抽象字母退到具體數字

我們經常會遇到一類“用代數式描述圖形規律”問題.此類問題的本質是求出以圖形序號為自變量的函數解析式問題.解決此類問題如果僅僅通過觀察很難求出函數解析式，不妨先退一步，從特殊情況（n=1，2，3等）入手，從部分圖形中求出某一量的個數，分析其中蘊含的規律，然后歸納出函數解析式.

例2將一些半徑相同的小圓按如圖4所示的規律擺放，請仔細觀察，第n個圖形有____________個小圓（用含n的代數式表示）.

直接求解比較困難，不妨選退一步，即先求出n=1，2，3，…時小圓的個數.觀察圖形不難寫出n=1時，小圓個數S1=6；n=2時，小圓個數S2=10；n=3時，小圓個數S3=16……再觀察圖形我們發現，每個圖形中的小圓由兩部分組成：最外面的4個小圓和里面的小圓，為了發現規律，可以將小圓個數寫成：S1=2+4=1×2+4；S2=6+4=2×3+4；S3=12+4=3×4+4……的形式，其中的規律已經非常明顯，從而第n個圖形小圓個數為Sn=n（n+1）=n2+n+4.需要說明的是，在探求小圓個數規律時，如果直接根據每個圖形中小圓的個數發掘規律比較困難，借助每個圖形中小圓的組成規律，再發現小圓的個數規律就變得容易多了.

圖4

三、從較強條件退到較弱條件

尺規作圖是我們學習幾何知識必須掌握的一項基本技能.在進行尺規作圖時，往往會給出一些限制條件.比較復雜的尺規作圖問題，限制條件還比較多.這時我們不容易一下子作出滿足全部限制條件的圖形，可以選退一步，放棄某些限制條件，先作出條件符合部分限制條件的圖形，然后在已作的圖形中利用放棄的某些限制條件繼續作圖，最后再作出條件全部限制條件的圖形.

例3用已知△ABC（如圖5），求作△ABC的內接短形DEMN，使DE在BC邊上，點M、N分別在AC、AB邊上，且DE=2ME.

該題要求作的矩形滿足的條件比較多：①DE在BC邊上；②點M在AC邊上；③點N在AB邊上；④DE=2ME.若要同時作出滿足這么多條件的圖形確實非常困難.我們不妨先退一步，先放棄一個限制條件，假如放棄“點M在AC邊上”這個條件，這個矩形就比較好作了，然后再進行位似變換，把點M固定在AC上即可（圖形作法略）.

以上我們從三個方面談了“退步思考法”在數學解題中的應用.當然應用“退步思考法”解決數學問題包括的遠不止這些.我們還可以從整體退到局部，從未知退到已知，從復雜退到簡單，從不熟悉的情況退到熟悉的情況等等.退的目的是為了更好地前進，更有利于我們找到解決問題的途徑和方法，更有利于我們解決問題.只要我們認真總結，勤于思考，用心感悟，一定會將這種思考問題的方法變成我們解決數學問題的有力武器.H

圖5