把握問題本質，提煉基本方法
——以具有“邊邊角”相等結構特征的三角形問題的探究為例

☉北京教育學院朝陽分院 白雪峰

大道至簡，以簡馭繁，是大智慧，更是高境界．中學數學解題教學也需要提高這樣的實踐智慧，追求這樣的教育境界．在數學解題教學中，教師要善于引導學生把握問題本質，抓住解題關鍵，指導學生學會運用數學的眼光來發現和提出問題，數學的思維來分析和解決問題，數學的語言表述和闡釋問題，促進學生在歸納概括解題思維過程和總結提煉解題基本方法的學習中，落實“四基”提高“四能”，發展數學核心素養．［1］

一、問題簡述

圖1

如圖1，∠MAN為銳角，點B在邊AM上，作BC⊥AN于點C．以點B為圓心，大于BC而小于AB的長為半徑作弧，交AN于點C1，C2．

在△ABC1和△ABC2中，BC1＝BC2，BA＝BA，∠BAC1＝∠BAC2，所以△ABC1和△ABC2構成了具有“邊邊角”相等這一結構特征的三角形．然而，這兩個三角形并不全等．

但是，如果深入探究這類具有“邊邊角”相等結構特征的三角形，我們可以獲得解決這類問題的基本方法，進而利用這種解題的基本方法解決一類問題．

事實上，我們可以通過三條途徑來處理這類具有“邊邊角”相等的結構特征三角形問題，即可以小△ABC1“放大”為大△ABC2，或大△ABC2“縮小”為小△ABC1，或作垂線段BC構成直角三角形ACB等途徑構成全等三角形，進而解決這類問題．下面舉例說明．

二、方法示例

例1已知：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點E在AB上，點F在AC的延長線上，且BE＝CF．連接EF交BC于點D．

求證：ED＝DF．

分析：在△BED和△FCD中，BE＝CF，∠EDB＝∠FDC，若證得ED＝DF，則△BED和△FCD就構成了具有“邊邊角”相等這一結構特征的兩個三角形，但這兩個三角形并不全等．由圖2可知，明顯有三種證法來證明ED＝DF，下面筆者選擇其中的“縮小法”給出證明，即利用已知條件在大三角形里構造一個與小三角形全等的三角形．

證明：如圖2，以點E為圓心，EB為半徑作弧，交BE于B1，連接EB1．則有EB1＝EB＝

說明：（1）如圖3，以點F為圓心，FC為半徑作弧，交BC的延長線于點C1，連接FC1，則△EDB≌△FDC1，所以ED＝DF．這里利用的是“放大法”，即利用已知條件構造一個與大三角形全等的三角形．

（2）如圖4，過點E作EG⊥BC于點G，過點F作FH⊥BC的延長線于點H，則Rt△EGD≌Rt△FHD，所以ED＝DF．這里利用的是“作垂線段法”，即利用已知條件通過作垂線段來構造兩個全等的直角三角形．

圖2

圖3

圖4

除以上三種證法之外，還有其他多種證法，但上述三種證法是最基本和最簡單的證法．

例2已知：如圖5，在△ABC（AB＜AC）中，AD為∠BAC的平分線，M為BC的中點，過點M作AD的平行線，交AC于點E，交BA的延長線上于點F．

求證：BF＝CE．

圖5

分析：因為M為BC的中點，所以BM＝CM，欲證BF＝CE.因為AD為∠BAC的平分線，所以∠1＝∠2.又ME//AD，∠1＝∠3，∠2＝∠4，所以∠3＝∠4，注意到∠4＝∠5，從而∠3＝∠5，所以△MBF和△MCE構成了兩個“邊邊角”型的三角形．

證明：如圖5，過點B作BG⊥FM于點G，過點C作CH⊥EM的延長線于點H.

因為BM＝CM，∠BMG＝∠CMH，

所以Rt△BGM≌△RtCHM，

所以BG＝CH．

在Rt△BGF和△RtCHE中，

因為BG＝CH，∠3＝∠5，

所以Rt△BGF≌△RtCHE．

所以BF＝CE．

說明：用“放大”或“縮小”法也可以證明此題，請感興趣的讀者自己完成．

例3已知：如圖6，在△ABC（AB＜AC）中，點E在AC上，且AB＝CE，點F、M分別為AE和BC的中點，AD為∠BAC的平分線．求證：FM//AD．

分析：欲證FM//AD，過點E作EN//AD，交BC于點N，只需要證明FM為梯形ADNE的中位線，由于F為AE的中點，所以只需要證明M為DN的中點．由于M為BC的中點，只需要證明BD＝CN，注意到AB＝CE，∠1＝∠3，所以△DBA和△NCE構成“邊邊角”型的兩個三角形．

證明：如圖6，過點E作EN//AD，交BC于點N，則有∠1＝∠3，所以四邊形ADNE為梯形．

以點B為圓心，BD為半徑作弧交AD于點G，連接BG，則有BD＝BG．所以∠BDG＝∠BGD，∠BGA＝∠ADC.

又∠ENC＝∠ADC，所以∠BGA＝∠CNE．

又AB＝CE，所以△BGA≌△CNE，

所以BG＝CN．

所以BD＝CN．

又BM＝MC，

所以DM＝MN，即M為DN中點．

注意到F為AE的中點，

所以FM為梯形ADNE的中位線，

所以FM//AD．

說明：請感興趣的讀者用“放大法”或“作垂線段法”來證明此題．

圖6

例4已知：如圖7，線段AB交圓O于C、D兩點（AB不過圓心O），且AC＝BD，作AF切圓O于點F，作BE切圓O于點E，AF、BE在線段AB的異側，連接EF交線段AB于點M．

求證：CM＝MD．

證明：如圖7，分別延長FA、BE交于點G．

因為AF和BE為圓O的切線，

所以GE＝GF，即△GEF為等腰三角形．

所以AF2＝AC·AD，BE2＝BD·BC．

因為AC＝BD，

所以AD＝BC．

所以AF2＝BE2，即AF＝BE．

圖6中的直線型與例1相同，

所以AM＝MB，CM＝MD．

說明：如果不應用圖1的結論，可以應用三角形全等證明此題，這也是比較簡單的方法．

圖7

三、寫在后面

縱觀問題提出和方法示例，筆者提出了一類具有“邊邊角”相等這一結構特征的三角形問題，基于典型例題呈現了“放大”“縮小”和“作垂線段”三種問題轉化的基本方法，其目的都是要構成全等三角形．在深入分析的基礎上，應用全等三角形的相關知識給出這類問題完整的證明過程，展示了問題探究和方法提煉的全過程．

實際上，平面幾何歷來是培養學生推理能力和理性精神的上佳載體，通過類似教與學過程的設計與實施，不僅可以促進學生夯實基礎知識，強化基本技能，還可以領悟基本的數學思想．進一步地，通過深刻反思上述數學問題的發現、提出、分析和解決的探究過程，助力學生獲得深度參與數學探究活動的基本經驗．［1］

因此，作為數學教師，要善于引領學生深入挖掘幾何問題內在的數學本質特征，引導學生學會運用數學的眼光、數學的思維和數學的語言，持之以恒地充分發掘幾何問題中蘊含的思維力量，將數學之大道自然融入“四能”培養的全過程之中，把學生獲得解題能力的眼前利益和發展數學核心素養的長期利益有機融合起來，切實發揮平面幾何的教育價值和育人功能．［2］

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版）［S］．北京：人民教育出版社，2018年1月.

2.白雪峰．一道中考數學模擬試題的證明與拓展，中國數學教育，2015（5）.H