重視圖形積累 提煉特殊圖形

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學 房琳穎

數(shù)學幾何是中學較為重要的一門學科，學生在求解較為復雜的圖形時往往會陷入思維的停滯，無法找到合理的解題思路，造成該種情形的主要原因是難于從復雜的圖形中分解提煉出特殊圖形，不能借助特殊圖形的特殊性質(zhì)來分析問題，從而打開解題的思路，特殊圖形的提煉存在一定的技巧性，下面將詳細講解.

一、分析幾何關系，提煉特殊圖形

利用特殊圖形的特殊性質(zhì)可以為推理提供重要的理論依據(jù)，對于簡單的問題圖形，可以直接從原圖中提取，即采用直接提煉的方式.提煉時，首先可以根據(jù)已知條件推導一些與圖形邊、角相關的結(jié)論，然后綜合分析結(jié)論，由定理聯(lián)想圖形，將圖式中的關鍵圖形提取出來.

y軸相交于點A，C，直線l2過點B（-2，0）與直線l1相交于y軸上的同一點C，而動點P以每秒一個單位長度的速度由點B向點A移動，動點Q以每秒兩個單位長度的速度由點A向點C移動.

圖1

圖2

（1）試求直線l2的解析式；

（2）試證明：線段BC上存在一點E，使得∠PEQ=∠B.

分析：（1）略.（2）求證BC上存在一點E，使得∠PEQ=∠B，可以假設結(jié)論成立來逆推線段BE的長度來證明.根據(jù)已知的邊和角，結(jié)合從原圖中提煉的圖形，如圖2，可以發(fā)現(xiàn)存在一組特殊關系的特殊圖形，△BPE與△CEQ相似，根據(jù)相似的性質(zhì)可以建立關于BE長度的關系式，對關系式的代數(shù)分析即可證明BE是否存在.

解：（1）點C（0，4），B（-2，0），則直線l2的解析式為y=2x+4.

（2）證明：由直線l1的解析式可得點A（3，0），C（0，4），則AB=AC=5，∠ABC=∠ACB，假設∠PEQ=∠B成立，則可得一組相似的特殊圖形：△BPE～△CEQ.設BE=m，BP=

點評：上述問題圖形中存在一組相似的特殊圖形，其相似的對應邊關系是實現(xiàn)后續(xù)推理的關鍵，提取的方式也較為簡單直接，結(jié)合已知條件探求相似三角形角的性質(zhì)即可實現(xiàn)，在平時的學習中積累特殊圖形的特殊性質(zhì)是實現(xiàn)圖形準確提取的基礎，如總結(jié)相似三角形、等腰三角形、直角三角形的邊角特征，建立定理與圖形之間的聯(lián)系.

二、添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形

而對于一些復雜問題，僅綜合考慮問題的條件和結(jié)論難以直接提取，則需要在對圖式進行分析、抽象時，嘗試通過添加輔助線的方式來構(gòu)造特殊圖形.該種情形分析圖形時，則不能將思維停留在圖式局部，需要從整體上來考慮.

例2 如圖3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D和點E位于BC邊上，且∠DAE=45°，試證明BD2+EC2=DE2.

圖3

圖4

分析：證明BD2+EC2=DE2，聯(lián)想到直角三角形中的勾股定理，可以將其放到直角三角形中來證明，則可以依托邊EC來構(gòu)造直角三角形，通過已知條件建立其邊長與結(jié)論中邊的關系來解決.

證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連接ED′，如圖4.

由△ACD′?△ABD的性質(zhì)可得CD′=BD，AD′=AD.

則△ADE?△AD′E，所以DE=D′E.

在Rt△ABC中，AB=AC，則，∠ABC=∠ACB=45°，可得∠D′CE=90°，則△CED′是直角三角形，根據(jù)勾股定理可得CD′2+EC2=ED′2，由DE=D′E，CD′=BD可證BD2+EC2=DE2.

點評：上述解題過程從結(jié)論入手，通過旋轉(zhuǎn)和添加輔助線的方式構(gòu)造了全等三角形和直角三角形，通過圖形的性質(zhì)建立了邊的關系，完成了結(jié)論證明.其中涉及到全等三角形、等腰三角形等特殊圖形，正是利用這些圖形的特殊性質(zhì)才實現(xiàn)了問題的解答，輔助線的添加對于圖形的提煉有著重要的作用.

三、真實事物抽象，轉(zhuǎn)化特殊圖形

從實際生活事物中抽象特殊圖形是一種較為特殊的圖形提煉方式，該種方式具有一定的復雜性，不僅需要保證圖形的整體情況相一致，還需要對圖形中的尺寸做出準確地標定.在圖形抽象過程中應盡量向三角形、正方形、圓以及扇形靠近，力求合理利用這些圖形的性質(zhì)來求解.

四、進一步的思考

1.充分認識圖形，關聯(lián)特殊性質(zhì)

充分認識特殊圖形是用好特殊圖形的基礎，對于特殊圖形的認識需要分三種情形來記憶，一類是最為基礎的等腰三角形、直角三角形、等邊三角形等；二類是具有特殊關系的圖形，如全等三角形、相似三角形等；第三類則是具有典型性的圖形，如對稱圖形、由一類圖形組合而來的復雜圖形.其次，對于特殊圖形需要從定理角度來認識，如等角對等邊、直角三角形的勾股定理、相似三角形的邊長關系等，往往特殊圖形之間有著性質(zhì)上的特殊，建立定理與圖形之間的相互關聯(lián)，形成特定的幾何思維對于圖形認識有著重要意義.

2.重視圖形積累，形成特殊意識

數(shù)學的學習過程本身就是不斷積累、鞏固、強化知識經(jīng)驗的過程，對于提煉特殊圖形同樣適用，不僅需要積累圖形提取的方式，如上述講解的直接提煉、添加輔助線和生活事物抽象，還需要對特殊圖形的特征進行積累，促進特殊意識的形成，包括圖形的特殊數(shù)值、特殊角度和特殊關系.在平時的積累中需要有意識地將其歸納出來，只有這樣，遇到新問題時才能產(chǎn)生充分的聯(lián)想，這也是模式化解題的一般思路，合理利用往往可以取得較好的解題效果.

3.感悟特殊圖形，上升理論高度

將對于特殊圖形的認識上升到理論高度是提升解題能力的關鍵，特殊圖形的提取過程有時需要利用建模思想，構(gòu)建理論本身就是一種較為重要的實踐理論，通過對圖形的深入分析和綜合考慮，在輔助技巧的結(jié)合下將其構(gòu)建成特殊的圖形，這就是構(gòu)建理論的指導思想，圖形構(gòu)建的過程需要對問題全面考慮，因此對學生的思維能力有一定的要求.另外，圖式理論也是圖形利用的重要理論，圖式是幾何個體本身所具有的結(jié)構(gòu)特征，對于學生認識圖形本質(zhì)，發(fā)揮幾何作用有著重要的意義，感悟圖形時，可以將與問題相關聯(lián)的圖式單獨提取出來，便于問題的解答.

五、寫在最后

總之，分析幾何關系、添加輔助線、真實事物抽象是提取特殊圖形較為重要的方法，合理利用特殊圖形的邊、角特性，結(jié)合定理推論可實現(xiàn)問題的高效解答，因而圖形提取的效果往往決定著解題的效率.利用特殊圖形解題，首先需要充分認識圖形，建立圖形與性質(zhì)間的相互關聯(lián)；其次需要重視對于特殊圖形的積累，逐步形成解題的特殊意識；然后對特殊圖形加以感悟，將其上升到指導解題的理論高度，從實踐的角度學習理論思想.

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