基于知識轉化，探求以題會類— —以如何證明線段相等為例

☉上海市嶺南中學 劉華為

習題教學雖然切入角度多種多樣，操作形式也千變萬化（如一題多解、一題多變和多題歸一等），但就其目標而言，除了鞏固知識外主要還是培養學生的解題能力和完善學生的思維方式.因此，如何棄“量”從“精”，切實減輕學生過重的作業負擔，全面提升學生分析問題的能力便成了習題教學的主旋律和一種高境界的追求.對此筆者的體會有兩點：一是以“怎么想到這樣做”為切入點，借助知識溯源豐富解題分析的轉化策略，從而教會學生“轉化”；二是以“同一類型還可怎么做”為抓手，借“知識遷移”拓寬處理同類問題的解題技巧，從而教會學生“類化”.現以“如何證明線段相等”為例作一操作示范解讀，以求拋磚引玉.

一、從對一道經典幾何題解法的深度思考談如何教會學生轉化

例1 如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，求證：BD=CD.

本題常規的輔助線添法如圖2所示，分別過D、C作DE⊥BC于點E，CF⊥AD于點F，易證△CDE≌△CDF，得所以DE垂直平分BC，故BD=CD.

圖1

圖2

思考1：怎么想到這樣添輔助線？

事實上，就轉化思想而言，所有數學問題都是運用所學過的知識來求解的，而這些解決相關問題的知識點通常稱之為“知識源”，也是解決同類問題的致勝法寶.如本題屬于證明線段相等問題，而回顧初中階段所學過的與“證明線段相等”有關的知識源主要有“線段中點的定義（知識源1）”“全等三角形對應邊相等（知識源2）”“等角對等邊（知識源3）”“中垂線的性質（知識源4）”“角平分線上任意一點到角的兩邊距離相等（知識源5）”“平行四邊形對邊相等（知識源6）”“平行線等分線段定理（含三角形與梯形的中位線定理）（知識源7）和“同弧（或等弧）所對的弦及弦的弦心距相等（知識源8）”等，本題結合條件與圖形的特征易想到運用知識源2、3、4處理.

若用知識源“中垂線的性質”證明，自然想到過點D作DE⊥BC于點E，再證明CE=BE=（當然也可取BC的中點E，連接DE證明DE⊥BC），注意到AC=BC和∠CAD=30°，由“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”想到過點C作CF⊥AD于點F（也可過點D作DG⊥AC于點G，如圖3），下面只需證明CE=CF（即證明△CDE≌△CDF）即可.由條件可得∠ACD=75°且∠ACF=60°，所以∠DCE=∠DCF=15°. 又∠CED=∠CFD=90°且CD=CD，故兩三角形全等，問題得證.

圖3

圖4

思考2：能否用知識源“等角對等邊”證明？

由BD和CD同為△BCD的兩條邊自然想到用知識源“等角對等邊”加以證明，又易知∠BCD=15°，所以只需證明∠CBD=15°或∠ABD=30°即可.

對于求15°的非特殊角∠CBD而言，不妨從方程思想入手，即設∠CBD=x，則∠ABD=45°-x，若再找到（或構造）∠ABD的等角，也用含x的代數式表示，便可列方程求出x的值.由∠BAD=∠BCD=15°和AD=CB想到在AB上截取AE=CD（如圖4），則△ADE≌△CBD，得DE=BD且∠ADE=∠CBD=x，所以∠DEB=∠DBE，即15°+x=45°-x，解得x=15°，問題得證.

對于求30°的特殊角∠ABD而言，自然聯想到構造等邊三角形轉化.如圖5，構造等邊△ABM，連接MC，由AC=BC和AM=BM 可知MC垂直平分AB，則∠AMC=30°.根據“邊角邊”定理易證△ABD≌△AMC，得∠ABD=∠AMC，進而得∠CBD=15°=∠BCD，所以BD=CD.

圖5

圖6

思考3：能否運用知識源“全等三角形對應邊相等”證明？

顯然圖中含有線段BD和CD的現有三角形均不全等，需重新構造.不妨以CD所在的△ACD為目標三角形，由∠ACB=90°想到過點B作BN⊥BC且BN=AC（如圖6），連接DN，則△NBD必與△ACD全等，只是不易證明.然而連接AN后可驚奇地發現四邊形ACBN為正方形，故不妨反其道而行之，直接構造正方形ACBN，連接DN，則證明△ACD≌△NBD就易如反掌了.

若以BD所在的△ABD為目標三角形，則可把△ABD沿AD翻折得△APD（如圖7），不過在證明CD=PD（即△CDP為等邊三角形）時遇到障礙.也可反其道而行之，先構造等邊△CDP，連接AP交CD于點O，再證明△PAD≌△BAD.由AC=AD和CP=DP知AP垂直平分線段CD，則∠PAD==15°=∠BAD，則問題轉化為證明AP=AB.注意到△ABC為等腰直角三角形、△CDP為等邊三角形和△ACD是頂角為30°的等腰三角形，故可通

圖8

圖7

當然也可以△CBD為目標三角形構造全等三角形，不妨把△CBD沿CD翻折得△CQD（如圖8），連接AQ，易證△ACQ為等邊三角形，進而得△ACD≌△AQD，所以CD=QD=BD.

思考4：如何引導學生學會轉化（即學會“怎樣想”）？

其實，對于上述分析筆者通常稱之為“知識溯源式目標分析法”，主要有三步：首先要明確解題目標是什么，如例1的終極目標是證明兩條線段相等；其次，根據目標追溯與其相關的知識源，如回顧初中階段所學知識發現與證明線段相等的知識主要有8個（見上）；最后，根據條件結合知識源的主要特征選擇適合的知識源求解，如上述解法就是根據例1的條件和圖形特征選擇了知識源2、知識源3和知識源4而生成的.教學中，若能從學法指導角度入手，以“知識溯源式目標分析法”為抓手，以上述三步為操作模式，逐步引導學生學會“怎樣想”，豐富轉化策略，必然能極大地減少解題的盲目性，全面提升解決問題的能力.

二、借助“同一類型還可怎么做”教會學生類化

顯然，例1主要是借助知識源“中垂線的性質”“等角對等邊”和“全等三角形對應邊相等”處理的，那么在什么情況下又分別運用其他知識源處理呢？

1.利用知識源“線段中點的定義”證明

例2如圖9，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點D，E，F分別是邊AB，AC上一點，且DE⊥DF.若△ABC的中位線MN交EF于點H，求證：EH=FH.

思路分析：從EH與FH的位置特征，自然想到運用知識源“線段中點的定義”證明EH=FH.若點H為EF的中點，注意到∠EAF與∠FDE為直角，所以A、E、D、F四點共圓，且EF為直徑，所以點H必為圓心.而由MN是△ABC的中位線和AD⊥BC可知，MN垂直平分弦AD，所以MN必經過圓心，則MN與直徑EF的交點H就是圓心，故EH=FH.

2.利用知識源“角平分線上任意一點到角的兩邊距離相等”證明

圖10

圖9

例3（2017年廣東中考題）如圖10，AB是⊙O的直徑，，，點E為線段OB上一點（不與點O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AF⊥PC于點F，連接CB.

（1）求證：CB是∠ECP的平分線；

（2）求證：CF=CE；

思路分析：（1）略（.2）從CF⊥AF和CE⊥AB的特征可知，欲證CF=CE只需證明AC平分∠EAF.由CF為⊙O的切線可知，∠ACF=∠ABC.又∠ACF+∠CAF=90°且∠ABC+∠CAB=90°，所以∠CAF=∠CAB，問題得證（.3）過點B作BQ⊥CP于點Q，不妨設CF=3t，CP=4t，則CQ=CE=CF=3t且

3.利用知識源“平行四邊形對邊相等”證明

例4（2017年溫州中考題）如圖11，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圓心O在△ABC內部）經過B，C兩點，交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F.延長CO交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D.

（1）求證：DE=CF；

（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值.

思路分析：（1）由ED∥AC知要證DE=CF，只需證明四邊形CDEF為平行四邊形即EF∥CD即可.由EF為⊙O的切線想到連接OE，得∠FEO=90°，則問題轉化為證明∠EOC=90°，即∠OEC=∠OCE=45°.而由弦切角的性質知∠CEF=∠B=45°，所以∠OCE=∠OEC=∠CEF=45°，得EF∥CD，問題迎刃而解（.2）過G作GM⊥BC于M，可得∠FCD=∠FED=∠CGM，所以CM=2GM=2BM，得BG=

圖11

圖12

4.利用知識源“比例式”等量轉化

例5（2012年全國初中數學聯賽試題）如圖12，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于點O.P，Q分別是AD，BC上的點，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD.求證：OP＝OQ.

思路分析：雖然由OP與OQ的位置特征，易聯想到連接PQ用知識源“等角對等邊”證明，但是不易證明∠OPQ=∠OQP.于是由∠APB=∠CPD和∠AQB=∠CQD想到構造相似三角形，再結合AB∥CD，不妨考慮用比例

5.利用知識源“同弧或等弧所對的弦相等”證明

例6（2017年江漢中考題）如圖13，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E，連接CE，CB.

思路分析：（1）由CE與CB是⊙O的兩條弦想到可證明CE=CB，即證明∠CAE=∠CAB.由弦切角的性質可知∠ACD=∠B，又∠ACD+∠CAE=90°且∠B+∠CAB=90°，所以∠CAE=∠CAB，問題得證（.2）由CB=CE=、AC=得AB=5.再由△ABC∽△ACD及其對應邊成比例得DC=2，根據勾股定理可得AD=4，DE=，所以AE=

圖13

圖14

6.運用計算法證明線段相等

例7（2012年宿遷中考題）如圖14，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD與以AB為直徑的半圓相切于點E，EF⊥AB于點F，EF交BD于點G，設AD=a，BC=b.

（1）求CD的長度（用a，b表示）；

（2）求EG的長度（用a，b表示）；

（3）試判斷EG與FG是否相等，并說明理由.

思路分析：（1）a+b，（2）略；（3）由EG和FG的位置特征易想到運用知識源“線段中點的定義”證明，不過直接證明G為EF的中點并不容易，由（2）想到不妨再求出FG，

當然，證明兩線相等的轉化策略遠非以上幾種，只要我們做個有心人，平時多注重積累就一定能在“以題會類”上有更多的作為，從而為減輕學生過重的學習負擔盡善盡美.不管怎樣，筆者認為習題教學務必要做到三個“堅持”：堅持以知識溯源為思路引領，明確思考方向；堅持以“教會學生怎么想”為能力抓手，強化學法指導；堅持以“同一類型還可怎么做”為拓展方向，力求“以題會類”.另外，通過以上分析也不難看出，從“知識溯源式目標分析法”入手，詳細剖析輔助線的生成過程，引導學生不僅知道“怎樣做”，還學會“怎樣想”.其積極意義在于：基于知識轉化的核心思想之下，把致力于培養學生思維分析能力和知識遷移能力的習題教學宗旨真正落到實處，為日后遇到新問題適時遷移（即以題會類）奠定扎實的基礎，注重了發展性學力的培養.H