突出函數之間聯系，綜合考查學生能力
——關于考查函數知識的中考題析解

☉山東省膠州第八中學 劉乃志

函數是刻畫變量之間相互依賴關系的數學模型，是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）界定的“數與代數”領域中的數學概念之一，是代數的“紐帶”.這部分的主要內容有：對函數的有關認識、一次函數（含正比例函數）、反比例函數及二次函數的圖像與性質，利用函數的有關知識解決實際問題等.

各地的中考題中對于函數知識的考題都占有較大的比例.下面從2017年各地的中考數學試卷中，選擇部分典型例題進行析解.

一、只考查某一種函數的性質

初中階段學生只學習三種函數：一次函數、二次函數和反比例函數.有關這三種函數的概念、表示方法、性質、圖像等知識都是《課標（2011年版）》強調的基礎知識，中考題中經常出一些考查某一種函數的題目，這樣的題目屬于“送分題”，考查形式可以選擇題、填空題、解答題.

例1（山東泰安）已知一次函數y＝kx-m-2x的圖像與y軸的負半軸相交，且函數值y隨自變量x的增大而減小，則下列結論正確的是（ ）.

A.k＜2，m＞0 B.k＜2，m＜0 C.k＞2，m＞0 D.k＜0，m＜0

解析：本題主要考查一次函數的性質，是所有學生都能夠自主解答的題目.由一次函數y＝kx-m-2x的圖像與y軸的負半軸相交且函數值y隨自變量x的增大而減小，可得出k-2＜0、-m＜0，解得k＜2，m＞0.故選A.

例2（貴州黔東南）如圖1，已知點A，B分別在

圖1

段OB的中點，則k的值為________.

解析：本題主要考查學生對反比例函數圖像上點的坐標特點的理解情況.設A（a，b），則B（2a，2b），把點A的

例3（湖北荊州）已知關于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k＝0，其中k為常數.

（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；

（2）已知函數y＝x2+（k-5）x+1-k的圖像不經過第三象限，求k的取值范圍；

（3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數值.

分析：（1）求出方程的判別式△的值，利用配方法得出△＞0，根據判別式的意義即可證明.（2）由于二次函數y＝x2+（k-5）x+1-k的圖像不經過第三象限，又△＝（k-5）2-4（1-k）＝（k-3）2+12＞0，所以拋物線的頂點在x軸的下方經過一、二、四象限，根據二次項系數知道拋物線開口向上，由此可以得出關于k的不等式組，解不等式組即可求解.（3）設方程的兩個根分別是x1，x2，根據題意得（x1-3）（x2-3）＜0，根據一元二次方程根與系數的關系求得k的取值范圍，再進一步求出k的最大整數值.

解：（1）證明：因為△＝（k-5）2-4（1-k）＝k2-6k+21＝（k-3）2+12＞0，

所以無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根.

（2）因為二次函數y＝x2+（k-5）x+1-k的圖像不經過第三象限，二次項系數a＝1，所以拋物線開口方向向上.

因為Δ＝（k-3）2+12＞0，

所以拋物線與x軸有兩個交點.

設拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1，x2，

則k的最大整數值為2.

點評：二次函數與一元二次方程有密切的關系，當二次函數y=ax2+bx+c的值為0時，就成為一元二次方程ax2+bx+c=0，反映在圖像上時，y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點所對應的數值就是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個解，這是學生學習的一個難點，也是中考的考點之一.本題就從這個聯系點入手，考查的知識點主要有：一元二次方程根的判別式；拋物線與x軸的交點；根與系數的關系；二次函數的性質等.

教學中結合具體的課程內容，精心設計問題，引導學生學習《課標（2011年版）》提出的“四基”.通過系列活動，讓學生掌握扎實的數學基礎知識，形成基本技能，感悟基本思想，不斷積累基本的數學活動經驗，這樣學生就能具有基本的數學素養，有了這樣的素養，不僅能在各種考試中獲取一個理想的分數，而且能在繼續學習中發揮優勢，不斷提高自己的數學核心素養.

二、同時考查兩種函數的性質

這三種函數的知識相互結合，形成所謂的“綜合題”，主要是以某兩種函數相結合的形式出現，目的是考查學生綜合運用函數的有關知識解決問題的能力.

1.一次函數與二次函數相結合

圖2

（1）求點B的坐標和拋物線的解析式.

（2）M（m，0）為x軸上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P，N.

①點M在線段OA上運動，若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；

②點M在x軸上自由運動，若三個點M，P，N中恰有一點是其他兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱M，P，N三點為“共諧點”.請直接寫出使得M，P，N三點成為“共諧點”的m的值.

從而得到拋物線的解析式.（2）根據MN⊥x軸和M（m，0）可得N點的坐標.①分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況求M的坐標.②分N分別為PM，NM，PN的中點三種情況求m的值.

因為在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN，∠AMP=90°，

若使△APM中和△BPN相似，則必須∠NBP=90°或∠BNP=90°.

分兩種情況討論如下：

（ⅰ）當∠NBP=90°時，過點N作NC⊥y軸于點C，

則∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，

點評：本題是一次函數與二次函數相結合的綜合題.考查的主要知識有一次函數，二次函數的性質，三角形相似的判定與性質，一元二次方程的解法等.由于動點的“參入”使得題目的難度增大.所以這是一道關于動態幾何的函數綜合壓軸題.動態幾何的函數綜合壓軸題已成為中考命題的熱點.解決此類問題的一般思路是化動為靜，找出圖形變化中不變的量和等量關系，構建相應的模型（本題是建立相似模型和方程模型），從而達到解答的最終目標.這樣的題目對于考查學生的閱讀理解能力，綜合分析與判斷能力都是非常有益的.從數學思想的高度看，本題主要涉及數形結合的思想和分類討論的思想.

2.一次函數與反比例函數相結合

例5（重慶卷）如圖3，在平面直角坐標系中，一次函數y=mx+n（m≠0）的圖像與反比例函數的圖象交于第一、三象限內的A、B兩點，與y軸交于點C，過點B作BM⊥x軸，垂足為M，BM=OM，OB=，點A的縱坐標為4.

（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；

（2）連接MC，求四邊形MBOC的面積.

分析：（1）根據題意可得B的坐標，從而可求得反比例函數的解析式，進行求得點A的坐標，從而可求得一次函數的解析式；（2）根據（1）中的函數關系式可以求得點C，點M，點B，點O的坐標，從而可求得四邊形MBOC的面積.

解：（1）由題意可得，BM=OM，所以BM=OM=2，所以點B的坐標為（-2，-2）.

設反比例函數的解析式為，得k=4，所以反比例函數的解析式為

因為點A的縱坐標是4，所以，得x=1，

所以點A的坐標為（1，4）.

因為一次函數y=mx+n（m≠0）的圖像過點A（1，4），點B（-2，-2），

（2）因為y=2x+2與y軸交與點C，所以點C的坐標為（0，2），

圖3

因為點B（-2，-2），點M（-2，0），點O（0，0），

所以OM=2，OC=2，MB=2，

點評：本題是一次函數與反比例函數相結合的問題.第一問求反比例函數與一次函數的解析式是考察函數知識常見的題型，求解析式的“通法”就是用待定系數法確定出未知的系數，為此，往往需要建立方程或方程組模型，所以考察函數問題時常與方程的知識融合在一起.第二問求四邊形的面積是函數與幾何相結合的典型問題.這樣的考題形式多樣，例如，有的題目告訴我們某個圖形的頂點在某種函數圖像上，或是某兩個函數圖像的交點，讓同學們求圖形的面積問題或探究圖形的形狀.

2.3 反比例函數與二次函數相結合

例6（河北）如圖4，若拋物線y=-x2+3與x軸圍成封閉區域（邊界除外）內整點（點的橫、縱坐標都是整數）的個數為k，則反比例函數y=的圖像是（ ）.

圖4

解析：仔細觀察圖4可以發現在封閉區域內的整數點分別是（-1，1），（1，1），（0，1），（0，2），故k=4.根據反比例函數的性質，發現A，B，C，D中符合xy=4的只有D.故選D.

點評：本題是二次函數與反比例函數相結合的題目.首先要求學生通過觀察二次函數y=-x2+3與x軸所圍成的封閉區域，得到整點的個數，然后根據反比例函數的性質得到反比例函數的圖像為D.

三、同時考查三種函數的性質

例7（福建）已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M（1，0），且a＜b.

（1）求拋物線頂點Q的坐標（用含a的代數式表示）.

（2）說明直線與拋物線有兩個交點.

（3）直線與拋物線的另一個交點記為N.

①若-1≤a≤，求線段MN長度的取值范圍；

②求△QMN面積的最小值.

分析：（1）由拋物線過點M（1，0），可得b=-2a，將解

（2）由直線y=2x+m經過點M（1，0），可得m=-2.由y=2x-2，y=ax2+ax-2a，可得ax2+（a-2）x-2a+2=0，由根的判別式可得該方程有兩個不相等的實數根，從而可得直線與拋物線有兩個交點.

（2）因為直線y=2x+m經過點M（1，0），所以0=2×1+m，解得m=-2.把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，所以△=（a-2）2-4a（-2a+2）=9a2-12a+4.由（1）知b=-2a，又a＜b，所以a＜0，b＞0，所以△＞0，所以該方程有兩個不相等的實數根，故直線與拋物線有兩個交點.

（3）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，

圖5

且由（2）知，a＜0，

即27a2+（8S-54）a+24=0.

因為這個關于a的方程有實數根，

所以△=（8S-54）2-4×27×24≥0，

函數”有機結合在一起的綜合性題目.解答的過程中體現了數形結合、方程與函數等重要的數學思想.

這就要求我們在教學時不要孤立知識，要把知識放在與其他知識相關的結構中進行，特別是數學復習時，一定要通過知識的梳理來優化學生的知識結構，只有這樣的知識結構才具有遷移性和創新性.同時要向學生滲透常見的數學思想與方法.培養學生勤于思考、善于思考的良好習慣，遇到綜合性的問題時能冷靜思考、認真分析、科學判斷、準確解答，從而取得好的成績，不斷提高和發展學生的綜合能力.H